Algorithm 这个关于动态数组大小调整的公式是如何实现的？

我还将此发布到mathematics.stackexchange和theoreticalcomputerscience.stackexchange。但我不确定它是否更适合这个论坛

我正在阅读斯基纳的《算法设计手册》

他分析了在动态数组中执行的复制操作的数量

“假设我们从一个大小为1的数组开始，每次用完空间时，将其大小从

m

加倍到

2m

。此加倍过程涉及分配一个大小为

2m

的新连续数组，将旧数组的内容复制到新数组的下半部分。表面上的浪费是在每次膨胀时重新包装旧内容物

斯基纳接着问道：

“一个元素在总共插入

n

之后需要重新编译多少次？”

然后，他给出了一个公式，用于计算插入

n

的移动总数

M

他的解释是：

“嗯，当数组在第一次、第二次、第四次、第八次……插入后展开时，第一个插入的元素将被重新复制。需要加倍，直到数组有n个位置。然而，大多数元素并没有遭受太大的动荡。事实上，st到

n

th元素最多移动一次，可能根本不需要移动。”

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但我真的不明白他是如何从中得出这个公式的。有人能帮我理解他是如何得出这个公式的吗？主要是我不明白的是，他为什么要乘以

I

这是说n/2个元素最多只能复制一次（正如你正确推断的那样）。此外，n/4个元素被复制两次。n/8个元素被复制3次，依此类推。

它表示副本的数量。让我们做一个简单的例子。按以下顺序进行插入

[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]

元素

16

使数组加倍（因为它变得大于

2^4

）

让我们计算副本：

15,14,13,12,11,10,9,8 were copied just once (i=1) * (n/2^i)
7,6,5,4               were copied twice (i=2)
3,2                   were copied three times (i=3)
1                     was copied 4 times (i=4)
0                     was copied 5 times (i=5)

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因此，我假设，对于上界，它应该是总和极限中的

ceil（logn）

，总和中的

ceil（n/2^I）

，但无论如何，这应该回答

I

从何而来的问题。

他在讲座第52分钟左右解释道：

此处M表示包含项目初始化的移动。最后n/2个项目移动一次，但从未复制

但是我发现M=15表示n=8[第一个元素4次+2次3次+3次2次+4次2次+5次1次+6次1次+7次1次+8次1]。公式应该是M=（求和表达式）+lg（n）+1=O（n）（仍然）。第一个元素被复制lg（n）次，因此它被移动lg（n）+1次用于实例化