Algorithm 你会怎么写∀；y&x2208；R+∃；z∈；R、 伪代码中的e^z=y？

我正在读关于校对的书，目前正在读埃里克·莱曼和汤姆·莱顿的《计算机科学数学》，他们在一个示例命题中说明，“当z在实数范围内时，e^z至少一次呈现每一个正的实数值”。我很难完全理解这个命题

作为一名程序员，我正在尝试处理这一问题，并思考如果我想知道这是不是真的，在伪代码中会是什么样子

pr = [ all real positive numbers ]
r  = [ all real numbers ]

for y in pr:
    for z in r:

        e = pow(y, z)
        if e != y:
            goto outer

        print "this is true";

    outer

---

这就是他们的建议吗？

∀ Y∈ R+，∃ Z∈ R、 e^z=y

就是说，对于正实数集合中的所有

y

，实数集合中存在

z

，因此

exp（z）=y

你不能真正创建一个程序来验证这是真的。最基本的原因是，您将遇到以下问题之一

浮点数学不精确（基本读取）

实是无限的

您可以检查每个浮点数（这需要很长时间，但理论上仍然可以计算），但是您可以

可能会出现这样一种情况，即不存在

z

，因此

exp（z）=y

，因为这样的

z

在浮点数集合中并不完全存在，无法给出

exp（z）=y

即使浮点数集中的每个

y

都有

z

，这也不能证明R+中的所有y和R中的所有z都是

exp（z）=y

所以总的来说，是的，伪代码在某种程度上代表了这个想法，但是在计算机上检查它是不可行的，也不符合逻辑的，或者把它当作一个计算问题来考虑

编辑： 以编程方式思考这个问题的最佳方式是

R = [SET OF ALL REALS]
R+ = FILTER (> 0) R
(MAP (exp) R) == R+

---

N.B.

exp

的意思是

e^N

其中

e^x=SUM[（x^k）/（k！）| k如果你想象可以枚举所有的正实数，而且可以在有限的时间内这样做，那么你思想实验的伪代码可能看起来更像这样：

pr = [ all real positive numbers ]
r  = [ all real numbers ]

for y in pr:
    for z in r:
        e = exp(z)
        if e == y:
            goto outer

    print "false"
    stop

    outer:

print "true"

与伪代码的主要区别在于：


（技术）将
pow（y，z）
更改为
exp（z）
。这是
z
上的指数函数，或等效地，将数字e提升到第z次方

只有当外部循环运行到完成时，该命题才被发现为真（并且算法打印该结果）

如果在外循环的任何一次迭代中，内循环确实运行到完成（表明该迭代的y不是任何实数的指数），则该命题被证明是错误的。在这种情况下，算法打印该结果并停止。整个命题失败只需要一个这样的实数y


当然，描述这个命题的一种完全不同的数学方法是，它说自然对数是定义的，并且对所有正实数变元求值为实数。这是因为自然对数是指数的倒数，所以如果你取
e^z=y
两边的对数，你会得到
z=log（y）
这个命题被一个程序证明了，该程序将找到z∈ R给出了任何y∈ R+，因此：

z = log(y);

@CarlosGranados你的思路是对的。我刚才的编辑可能对你也有一些用处（如果你做函数编程的话）。实数是无限的这一事实本身并不是问题。如果命题是真的，并且实数是可数的（确切地说是递归枚举的），这个想法会起作用：对于每一个
y
，这样一个
z
最终会被找到。事实上，实数是不可数无限的，因此不可枚举，这是实际的障碍。对，这是计算机的实际性质，因为它是一个有限的设备。@EliSadoff Brute强制一个可数集，前提是我们搜索的元素是r属于集合，最终停止（理论上），-这在可计算性理论中很重要。当然，由于物理限制，这在实践中是不可行的。我只想指出这个精确的区别。@lisyarus“最终停止”-这不是真的；真正的是，对于每个元素，它都会在有限的时间后被处理。但总体而言，这实际上是一个奇妙的问题。很高兴看到更多关于stackoverflow的算法和数学内容。“pr=[所有实数]r=[所有实数]”这些已经是一个问题了，因为它们不仅无限多，而且大多数都是不可计算的。@G.Bach我在下面已经提到了这一点。问题不是要创建一个实际的程序，而是要看看它在伪代码算法中会是什么样子。似乎你在以一种有趣的方式使用
e
。在数学中，
e
是一个常量-它不能赋值。你可能想要类似于
x=pow（e，z）
或
x=exp（z）
@anatolyg的东西。这是一个很好的上下文，我有一段时间对e是什么感到困惑。