Math 复杂振荡的滤波方法

如果我有一个弹簧系统，不是一个，而是一个3自由度的弹簧系统，在一些地方相互连接。我可以为它建立一个微分方程组，但用一般的方法求解是不可能的。问题是，是否有任何论文或方法可以过滤如此复杂的振荡，以消除振荡并尽可能多地获得真实信号？例如，如果我以某种方式连接3个弹簧，然后推动它们开始振动，或者在它们上施加一些重量，然后从每个弹簧上获取振动，是否有任何过滤方法可以方便地确定每个质量的重量（如果在上面加上一些质量）？我对过滤复杂的弹簧式系统感兴趣。

您连接弹簧的方式是否使系统的行为近似线性？（例如，至少与乐器弹簧/弦一样接近线性？）这种行为随时间的推移是否一致？（例如，弹簧不会熔化或断裂。）如果是这样，LTI（线性时不变）系统理论可能适用。给定足够的测量值与LTI系统中的自由度相对应，可以估计系统响应的零极点图，并从那里开始。或者像线性预测器之类的东西可能有用。

实际上，只要知道质量等，就可以解出由此产生的微分方程组

标准方法是使用。特别是从一组线性微分方程开始。添加变量，直到得到一组一阶线性微分方程。（因此，如果等式中有

y'

，则应添加等式

z=y'

，并将

y'

替换为

z'

）将其改写为：

v' = Av + w

其中，

v

是变量向量，

a

是矩阵，

w

是标量向量。（重力就是一个以

w

结尾的例子。）

现在应用拉普拉斯变换来获得

s L(v) - v(0) = AL(v) + s w

解决它以获得

L(v) = inv(A - I s)(s w + v(0))

其中，

inv

将矩阵求逆，

I

是单位矩阵。应用拉普拉斯逆变换（如果你阅读了拉普拉斯逆变换，你可以找到常见函数类型的逆变换表——获得你实际遇到的函数的完整列表应该不会那么困难），你就有了你的解决方案。（请注意，这些计算很快就会变得非常复杂。）

现在，您可以进行特定设置并解决未来行为。你也有能力（如果你做的很仔细的话）弄清楚模型是如何对参数中的小扰动做出反应的。但您的问题是，您不知道要使用的参数。但是，您确实能够重复测量系统中的位置

如果你把这些放在一起，你能做的就是这样。在多个点上测量你的位置。首先估计参数的所有初始值，然后在一秒钟后估计所有值。您可以调整参数（使用牛顿法），使其在一秒钟后足够接近这些值。从5秒后开始测量，并使用该初始估计值作为起点，对5秒后发生的情况进行优化计算。以较长的间隔重复，以获得所有答案

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编写和调试这应该需要一些时间。：-）我强烈建议您调查一下Mathematica已经知道如何为您做了多少…

三个弹簧，六个自由度？这是一个使用有限元方法和数值积分的简单解决方案。这是一个由六个耦合的常微分方程组成的系统。您可以应用任何形式的数值积分，例如五阶龙格-库塔积分

我建议首先对系统进行特征值分析，以了解其频率特性和正常模式。我还要对系统施加的动力进行FFT分析。你没有提到任何阻尼，所以如果你碰巧以接近共振的自然频率激励你的系统，你可能会有一些有趣的行为

如果动力学方程有这样的一般形式（对不起，我这里没有乳胶使它看起来好看）：

其中M是质量矩阵（对角线），a是加速度（位移w.r.t.时间的二阶导数），K是刚度矩阵，F是力函数

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如果你说你知道响应，你必须用响应函数的转置进行预乘，然后试着解M。它是对角的，所以你有机会尝试一下。

我不同意“标准方法”的说法。这是一种方法，但它只适用于线性系统。你忽略了其他的闭式解和数值方法。@duffymo：你说得对，我假设了一个线性系统。至于标准，这是我从20年前的课程中记得的方法。不是你的推荐不好，因为拉普拉斯是完全可以接受的。但你没有提到的问题是，这实际上是六首颂歌。应用拉普拉斯变换将这些转化为6个耦合的代数方程组，您可以求解它们。但现在您将面临另一项艰巨的任务：如何反转转换以获得最终解决方案？“这不是小事。”达菲莫：我解决这些问题的记忆告诉我，逆问题不是小事，但也不是那么难。但正如我所说，我已经有20年没有做过了。我尝试过拉普拉斯变换，但当我必须做一个逆变换时，看起来我必须找到6次方程的根。（我的意思是：a6x^6+…+a1x+a0）如果质量未知，特征值分析不会走得很远。质量未知。。我已经做了一个数值解法。现在我需要找出如何有效地过滤这种振荡，所以你的目标是

Ma + Kx = F