Math 复杂振荡的滤波方法

Math 复杂振荡的滤波方法,math,signal-processing,Math,Signal Processing,如果我有一个弹簧系统,不是一个,而是一个3自由度的弹簧系统,在一些地方相互连接。我可以为它建立一个微分方程组,但用一般的方法求解是不可能的。问题是,是否有任何论文或方法可以过滤如此复杂的振荡,以消除振荡并尽可能多地获得真实信号?例如,如果我以某种方式连接3个弹簧,然后推动它们开始振动,或者在它们上施加一些重量,然后从每个弹簧上获取振动,是否有任何过滤方法可以方便地确定每个质量的重量(如果在上面加上一些质量)?我对过滤复杂的弹簧式系统感兴趣。您连接弹簧的方式是否使系统的行为近似线性?(例如,至少与

如果我有一个弹簧系统,不是一个,而是一个3自由度的弹簧系统,在一些地方相互连接。我可以为它建立一个微分方程组,但用一般的方法求解是不可能的。问题是,是否有任何论文或方法可以过滤如此复杂的振荡,以消除振荡并尽可能多地获得真实信号?例如,如果我以某种方式连接3个弹簧,然后推动它们开始振动,或者在它们上施加一些重量,然后从每个弹簧上获取振动,是否有任何过滤方法可以方便地确定每个质量的重量(如果在上面加上一些质量)?我对过滤复杂的弹簧式系统感兴趣。

您连接弹簧的方式是否使系统的行为近似线性?(例如,至少与乐器弹簧/弦一样接近线性?)这种行为随时间的推移是否一致?(例如,弹簧不会熔化或断裂。)如果是这样,LTI(线性时不变)系统理论可能适用。给定足够的测量值与LTI系统中的自由度相对应,可以估计系统响应的零极点图,并从那里开始。或者像线性预测器之类的东西可能有用。

实际上,只要知道质量等,就可以解出由此产生的微分方程组

标准方法是使用。特别是从一组线性微分方程开始。添加变量,直到得到一组一阶线性微分方程。(因此,如果等式中有
y'
,则应添加等式
z=y'
,并将
y'
替换为
z'
)将其改写为:

v' = Av + w
其中,
v
是变量向量,
a
是矩阵,
w
是标量向量。(重力就是一个以
w
结尾的例子。)

现在应用拉普拉斯变换来获得

s L(v) - v(0) = AL(v) + s w
解决它以获得

L(v) = inv(A - I s)(s w + v(0))
其中,
inv
将矩阵求逆,
I
是单位矩阵。应用拉普拉斯逆变换(如果你阅读了拉普拉斯逆变换,你可以找到常见函数类型的逆变换表——获得你实际遇到的函数的完整列表应该不会那么困难),你就有了你的解决方案。(请注意,这些计算很快就会变得非常复杂。)

现在,您可以进行特定设置并解决未来行为。你也有能力(如果你做的很仔细的话)弄清楚模型是如何对参数中的小扰动做出反应的。但您的问题是,您不知道要使用的参数。但是,您确实能够重复测量系统中的位置

如果你把这些放在一起,你能做的就是这样。在多个点上测量你的位置。首先估计参数的所有初始值,然后在一秒钟后估计所有值。您可以调整参数(使用牛顿法),使其在一秒钟后足够接近这些值。从5秒后开始测量,并使用该初始估计值作为起点,对5秒后发生的情况进行优化计算。以较长的间隔重复,以获得所有答案


编写和调试这应该需要一些时间。:-)我强烈建议您调查一下Mathematica已经知道如何为您做了多少…

三个弹簧,六个自由度?这是一个使用有限元方法和数值积分的简单解决方案。这是一个由六个耦合的常微分方程组成的系统。您可以应用任何形式的数值积分,例如五阶龙格-库塔积分

我建议首先对系统进行特征值分析,以了解其频率特性和正常模式。我还要对系统施加的动力进行FFT分析。你没有提到任何阻尼,所以如果你碰巧以接近共振的自然频率激励你的系统,你可能会有一些有趣的行为

如果动力学方程有这样的一般形式(对不起,我这里没有乳胶使它看起来好看):

其中M是质量矩阵(对角线),a是加速度(位移w.r.t.时间的二阶导数),K是刚度矩阵,F是力函数


如果你说你知道响应,你必须用响应函数的转置进行预乘,然后试着解M。它是对角的,所以你有机会尝试一下。

我不同意“标准方法”的说法。这是一种方法,但它只适用于线性系统。你忽略了其他的闭式解和数值方法。@duffymo:你说得对,我假设了一个线性系统。至于标准,这是我从20年前的课程中记得的方法。不是你的推荐不好,因为拉普拉斯是完全可以接受的。但你没有提到的问题是,这实际上是六首颂歌。应用拉普拉斯变换将这些转化为6个耦合的代数方程组,您可以求解它们。但现在您将面临另一项艰巨的任务:如何反转转换以获得最终解决方案?“这不是小事。”达菲莫:我解决这些问题的记忆告诉我,逆问题不是小事,但也不是那么难。但正如我所说,我已经有20年没有做过了。我尝试过拉普拉斯变换,但当我必须做一个逆变换时,看起来我必须找到6次方程的根。(我的意思是:a6x^6+…+a1x+a0)如果质量未知,特征值分析不会走得很远。质量未知。。我已经做了一个数值解法。现在我需要找出如何有效地过滤这种振荡,所以你的目标是
Ma + Kx = F