Math 仅需要前k位时的快速求幂？

这实际上是为了一个编程竞赛，但我已经非常努力地尝试了，甚至连一点如何做到这一点的线索都没有

找到nm的第一个和最后一个k位，其中n和m可以非常大~10^9

对于最后k位，我实现了模幂运算

对于第一个k，我想用二项式定理达到一定的幂次，但这涉及到对阶乘的大量计算，我不确定如何找到一个最佳点，在这个点上n^m可以展开为（x+y）m

那么，是否有任何已知的方法可以在不执行整个计算的情况下找到前k位

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更新1不确定，但会想到标识nm=exp10（m log10（n））=exp（q（m log（n）/q）），其中q=log（10），以及exp10（x）的前K位=exp10（frac（x））的前K位，其中frac（x）=x=x的分数部分-楼层（x）

更明确地说：nm的前K位是its=exp（frac（m log（n）/q）*q的前K位，其中q=log（10）

或者，您甚至可以在这个会计练习中更进一步，使用exp（（frac（m log（n）/q）-0.5）*q）*sqrt（10），它也具有相同的尾数（+因此前K位相同），以便exp（）函数的参数以0为中心（并且在+/-0.5 log 10=1.151之间）快速收敛

（一些示例：假设您需要2100的前5位。这等于exp（（frac（100 log（2）/q）-0.5）*q）*sqrt（10）的前5位）=1.267650600228226。2100的实际值是1.267650600228229e+030根据MATLAB，我手头没有bignum库。对于2100000000的尾数，我得到了4.612976044195602，但我真的没有办法检查……有一页关于某人已经完成了艰苦工作；220996011-1=125976895450……和我的公式gi在MATLAB中计算的ves 1.259768950493908在第9位之后失败。）

我可能会使用（exp和log，而不是nm）及其错误边界，并不断添加术语，直到错误边界降到前K位以下。（通常情况下，我不使用泰勒级数进行函数逼近——它们的误差被优化为在单个点附近最精确，而不是在期望的区间内——但它们确实具有数学上简单的优点，并且可以通过添加附加项将精度提高到任意精度）

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对于对数，我会使用你最喜欢的近似值。

假设你在每一步截断？不确定这会有多准确，但是，例如 n=11 m=一些大数字 您需要前两位数字

递归地：

11 x 11->121，截断->12（1个截断或四舍五入） 然后取截断值并再次提升

12 x 11->132截断->13 重复一遍

（132截短）x11->143。

最后加上#0等于你所做的截断次数。

你看了吗？您可以修改其中一个方法，以便只计算所需的内容

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在我上一节算法课上，我们必须实现一些类似于您正在做的事情，我模糊地记得那个页面很有用。我们只想计算并得到n个第一位数字

通过以下迭代计算：

你有。 不完全准确地计算每一个。 问题是，相对误差较小 大于a的n倍相对误差

您希望得到小于的最终相对误差。 因此，每个步骤上的相对误差可能是最小的。 在每个步骤中删除最后的数字

例如，a=2，b=16，n=1。最后的相对误差是10^{-n}=0,1。 每个步骤的相对误差为0,1/16>0001。 因此，在每个步骤中，3位数字都很重要。 如果n=2，则必须保存4位数字

2（1）、4（2）、8（3）、16（4）、32（5）、64（6）、128（7）、256（8）、512（9）、1024（10）->102， 204（11）、408（12）、816（13）、1632（14）->163、326（15）、652（16）

答:六,

该算法的竞争性为O（b）。但是改变它很容易得到它

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O（logb）

@nlucaroni:谢谢，但如果你能把这样的想法作为自己的评论，那就更礼貌了。泰勒级数对于这个函数来说并不简单。f（x）=x^n，f'（x）=nx^（n-1），f'（x）=n（n-1）x^（n-2）-您看到了问题。每个术语都需要计算一个类似于您试图近似的函数。如果n=10^9，你需要那么多的项才能得到fI的n阶导数，这并不意味着n^m的泰勒级数，我的意思是exp（）和log（），依我看，它们的收敛速度还不够快。我更喜欢看Abramowitz和Stegun之类的：也许我错过了什么。。你需要K做什么？exp（K（m log（n）/K））==exp（m log（n））此方法需要与有效的求幂方法相结合。如果您想要7^23421613的最后10位数字，您肯定不想执行乘法和截断方法23421613次。这不起作用，例如65^5=116。。。对于k=3，但通过截断，答案是115。另外，你必须注意你的误差范围。即使只需要两位数，中间计算也需要两位数以上。K是任意的吗？或者限制在特定范围内？