Math 将二维样条函数f（t）变换为f（x）

所以我有一个三次样条曲线的特例集，它的2d控制点总是会产生一条曲线，它永远不会在x轴上自交。也就是说，曲线看起来像是一个简单的多项式函数，y=f（x）。我想沿着样条线高效地创建一个y坐标数组，该数组对应于沿样条线线段长度均匀分布的x坐标

我想沿着样条线有效地找到y坐标，例如，x=0.0，x=0.1，x=0.2，等等，或者以另一种方式，有效地将fx，y（t）样式函数转换为f（x）函数

我目前正在使用4x4常数矩阵和四个2d控制点来描述样条曲线，使用Hermite或Catmull Rom样条曲线的矩阵常数，并将它们插入t从0到1的三次函数中

给定矩阵和控制点，在x轴上获得这些y值的最佳方法是什么

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编辑：我应该补充一点，一个足够好的近似值就足够了。

好吧，你可以解出你的fx（t）=x代表t。那将是一个三次方程式；丑陋但仍然可以明确地解决。如果样条曲线和你描述的一样，那么其中两个解将是共轭复的，所以剩下的唯一一个就是要取的解。用它来计算y=fy（t）。如果你想要精确的解决方案，我怀疑你能做得更容易些

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您可以使用来计算立方方程的解。

如果数值近似足够好，人们通常会使用一种技术（例如）。

您的问题说明您需要均匀的空间x坐标，近似解是可以的。因此，我提出以下算法：

• 确定所需的网格点，例如，每0.1 x单位一个网格点
• 从l=0和r=1开始
• 计算fx（l）和fx（r），并考虑这些端点所表示的区间。
  • 如果间隔足够小并且正好包含一个网格点，则使用中心参数t=（l+r）/2作为该网格点的良好近似值，并将其作为一个元素列表返回
  • 如果该间隔中至少有一个网格点，则使用（l+r）/2作为拆分点将其拆分为两个，并将两次计算的结果列表连接起来
  • 如果间隔中没有网格点，则跳过计算的当前分支，返回空列表

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这将放大网格点，将每个步骤中的参数空间一分为二，并为所有网格点提供合适的参数。

谢谢，这很有帮助。事实上，我看了t的解决方案，它们非常难看。当然比我想大量计算的任何东西都要难看。我补充说，近似值（适用于将曲线绘制为f（x）函数）就足够了。@vercellop，我发布了一个链接，它为您提供了一个求解三次方程的公式。到目前为止，我发现的最简单的方法就是以t的规则间隔从曲线上采样点，然后沿x轴在这些值之间插值以收集f（x）值。大多数时候这看起来还可以，但偶尔会忽略细节，因为很难知道尖角在哪里；增加采样频率会有所帮助，但并不完全有效，也不令人满意。我相信有一种聪明的方法既能提高计算效率，又不会丢失细节。@vervellop，对于经过编辑的问题，您当前的方法可能是最好的答案，因此我建议您将其作为答案发布，这样，如果没有更好的结果，您最终可以接受它。如果用户认为它是解决这个问题的一个好的/合适的解决方案，你可以投票赞成。在你的问题中可能存在一个矛盾：原始问题要求均匀间隔的X坐标，而编辑需要一个适合绘图的解决方案。如果存在明显的尖点，则均匀间隔的采样可能无法捕获这些尖点。所以我建议你把问题保持原样，因为这就是答案所指的。您可能想问一个关于绘图问题的新问题，最好详细说明您试图实现的目标，即为什么仅仅绘制2D样条线是不够的。啊，是的，澄清一下：此模块的输出是等距x坐标的y位置列表（很像连续信号的振幅采样）。这里的目标是生成这些f（x）点，因为我们不绘制。显然，使用这种方法，任何比“采样频率”更精细的细节都会丢失-这没关系。它们的质量只需“足以绘制”，但不应遗漏曲线的任何重要特征。理想情况下，只需对曲线求值不超过N次即可生成N个点（但越少越好）。这是一种二分法（），是许多寻根方法之一。查看维基百科，了解算法的优缺点，这些算法对类似问题的效果可能更好（或更差）。