Math 给定n的toticent函数的所有实际值之和

对于给定的n，如何有效地求一个toticent函数的所有实际值之和。 例如，tot（10）为1,3,7,9=>1+3+7+9=20。 我尝试了下面的暴力方法

int sum = 0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
    if(gcd(i,n)==1)sum += i;
}
print(sum)

int和=0；
对于（int i=1；i，如果打印出函数的第一个值，则得到：

1、1、3、4、10、6、21、16、27、20、55、24、78、42、60、64、136

查找中的函数，您会发现：“n的totatives之和，即整数到n和互质到n之和”。在这里我们得到一个公式：

n*phi（n）/2
除了
n=1
。这里
phi
是Euler的，Euler自己对其表示了一个快速计算：
n*乘积{不同的素数p除以n}（1-1/p）

将所有内容组合到一些纯Python函数中：

导入数学
def基本系数（n）：
如果n==1：
返回[]
如果n%2==0：
返回[2]+素数因子（n//2）
如果n%3==0：
返回[3]+素数因子（n//3）
如果n%5==0：
返回[5]+素数因子（n//5）
对于范围（6，int（math.sqrt（n））+1，6）内的i：
如果n%（i+1）=0：
返回[i+1]+素数因子（n//（i+1））
如果n%（i+5）==0：
返回[i+5]+素数因子（n//（i+5））
返回[n]
def gcd（a、b）：
如果b==0：
归还
返回gcd（b，a%b）
定义总和（n）：
s=0
对于范围（1，n+1）内的i：
如果gcd（n，i）=1：
s+=i
返回s
def phi（n）：
prod=n
对于集合中的i（prime_factors（n））：#转换为集合，因为我们不希望重复
#产品=产品*（1-1/i）
prod=prod*（i-1）//i#重写公式，使其仅适用于整数
返回整数（prod）
定义快速总和（n）：
如果n==1：
返回1
返回n*phi（n）//2
打印（[范围（1,31）内n的总和（n）]）
打印（[范围（1,31）内n的快速总和（n）]）
n=12345678
打印（快速求和（n））
打印（总和（n））

输出：

[1, 1, 3, 4, 10, 6, 21, 16, 27, 20, 55, 24, 78, 42, 60, 64, 136, 54, 171, 80, 126, 110, 253, 96, 250, 156, 243, 168, 406, 120]
24860442405888

请注意，这里的素因子分解仅通过6k+1和6k+5这两个可能的因子进行。这可以进一步优化，步进模30，其中只需要测试8个因子，可以跳过22个因子。（依此类推，模210=2*3*5*7等）

如果你需要计算很多数字的素数因子，你可以建立一个埃拉托斯烯筛，并将结果保存在一个列表中。这样你只需要逐步通过实素数来找到素数因子。
如果n足够大，那么该技术的一种变体应该可以节省大量时间。试着计算se的前几个元素对n=1，2，3，…进行排序，然后查看在线整数序列百科全书，了解该序列的相关知识。似乎有人已经对其进行了研究。