Algorithm 最小生成树（MST）算法
我在一次采访中被问到以下问题，我无法找到有效的解决办法 问题是：Algorithm 最小生成树（MST）算法,algorithm,graph,graph-algorithm,greedy,minimum-spanning-tree,Algorithm,Graph,Graph Algorithm,Greedy,Minimum Spanning Tree,我在一次采访中被问到以下问题，我无法找到有效的解决办法 问题是： 我们想要建立一个网络，我们得到了c个节点/城市和D个可能的边缘/道路连接。边是双向的，我们知道边的代价。边的代价可以表示为d[i，j]，其表示边i-j的代价。注：并非所有c节点都可以直接相互连接（D是可能的边集） 现在，我们得到了一个无成本的k个潜在边/连接的列表。但是，您只能在k边列表中选择一条边来使用（例如获得免费资金在两个城市之间修建机场） 所以问题是。。。找到一组道路（和一个免费机场），以最大限度地降低在高效运行时建立
- 我们想要建立一个网络，我们得到了c个节点/城市和D个可能的边缘/道路连接。边是双向的，我们知道边的代价。边的代价可以表示为d[i，j]，其表示边i-j的代价。注：并非所有c节点都可以直接相互连接（D是可能的边集）
- 现在，我们得到了一个无成本的k个潜在边/连接的列表。但是，您只能在k边列表中选择一条边来使用（例如获得免费资金在两个城市之间修建机场）
谢谢你的帮助 首先生成一个MST。现在，如果添加一条自由边，将只创建一个循环。然后，您可以删除循环中最重的边，以获得更便宜的树 若要通过添加一条自由边来找到最好的树，您需要在MST中找到可以用自由边替换的最重边 您可以通过一次测试一条自由边来实现这一点：
- 按大小或等级使用并集，但不使用路径压缩。然后，每个联合操作将只建立一个链接，并且需要O（logn）时间，并且所有路径长度最多为O（logn）长
- 对于每个链接，请记住导致创建链接的边的索引
然后，对于每个可能的自由边，可以沿着不相交集结构中的链接进行遍历，以准确地找出其端点在哪个点连接到相同的连接组件中。您将获得最后一条所需边的索引，即它将替换的边，具有最大替换目标索引的自由边是您应该使用的边。一个想法是将您最喜欢的MST算法视为一个黑盒，并在请求MST之前考虑更改图中的边。例如，您可以尝试以下方法：
for each edge in the list of possible free edges:
make the graph G' formed by setting that edge cost to 0.
compute the MST of G'
return the cheapest MST out of all the ones generated this way
Run a DFS in T starting at u until you find v.
If the heaviest edge on the path found this way costs more than {u, v}:
Delete that edge.
Add {u, v} to the spanning tree.
Return the resulting tree T'.
然而，如果您可以使用一些更高级的算法，这可能会得到进一步的改进。Demaine等人的论文“关于笛卡尔树和范围最小查询”表明，在O（n）时间内，可以预处理最小生成树，以便在时间O（1）中，在时间O（1）中，查询形式为“该树中节点u和v之间的路径上的最低成本边是什么？”时间O（1）。因此，您可以构建此结构，而不是使用DFS来查找u和v之间的瓶颈边缘，从而将整个运行时减少到O（T（m，n）+n+k）。假设T（m，n）非常低（最著名的界是O（mα（m）），其中α（m）是Ackermann反函数，并且对于可行域中的所有输入小于5），这是一个渐进的非常快速的算法 对此不确定，但与其解决一个大问题，不如解决
cc