Algorithm 如何在O（log（n））中平衡此AVL树？

假设有两个AVL树U和V以及一个元素x，使得U中的每个元素都x。如何合并U、V和x以创建AVL树？什么算法会产生O（log（n））时间复杂度

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所以我知道答案是，您只需创建一个BST，其中x为根，U为左子，V为右子，然后重新平衡。但我如何证明这具有O（log（n））复杂性？

如果两棵树的高度相同或最多相差一个，那么您的方法是正确的（并且不需要平衡）。然而，当它们之间的差异更大时，情况并非如此

我们可以递归地解决这个问题：

def merge(U, x, V):
    if h(V) > h(U) + 1:
        V.left = merge(U, x, V.left)
        # Note that h(V.left) can only increase, by at most 1,
        # so one rotation can fix all issues.
        if h(V.left) > h(V.right) + 1:
            V = rotate-right(V)
        return V

    if h(U) > h(V) + 1:
        U.right = merge(U.right, x, V)
        if h(U.right) > h(U.left) + 1:
            U = rotate-left(U)
        return U

    return new-node(x, U, V)

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请注意，我们在每个调用中最多执行一个固定的工作量，外加一个可选的递归调用。因此复杂性是

O（递归深度）

。但也应该很容易看出，递归深度受到树的高度差

U，V

的限制。其中每一个的高度都是

O（logn）

，因此我们可以推断

merge

也是

O（logn）

，“旋转例程本身都是O（1），因此它们不会显著影响插入操作的复杂性，插入操作的复杂性仍然是O（k），其中k是树的高度。”是的，但当您有一个AVL树并插入1个元素时，该解释适用。但是在这种情况下，如果你一次插入1，你会得到O（mlog（n）），如果你仔细考虑一下，我想你会得出这样的结论，即旋转的次数永远不会超过两棵合并树的总树深度。当你插入它们时，这两棵树已经达到了各自的平衡。但我的问题中有一个关键的区别，给你一个x，其中U中的所有值都x。