哪个Big-O渐近增长更快

我最近卷入了一场争论/辩论，我正试图对正确的解决方案做出明确的判断

众所周知，但到底有多快，足以“隐藏”可能添加到其中的所有附加常量

假设我有一个愚蠢而简单的程序（没有特定的语言）：

假设输入是

n

，那么其复杂性显然是

O（n！）

（或者甚至是

ϴ（n！）

，但这与这里无关）

现在让我们假设这个程序：

for i from 0 to n do:
    for j from 0 to n do:
        for k from 0 to n! do:
            ; // nothing

Bob声称：“这个程序的复杂性显然是

O（n）O（n）O（n！）=O（n！n^2）=O（（n+2）！）

”

Alice回答：“我同意你的看法，bob，但实际上，如果你说复杂性是

O（n！）

，那就足够了，因为

O（n！n^k）=O（n！）

对于任何

k>=1

常数来说都是如此。”

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Alice在Bob的分析笔记中是对的吗？

Alice是错的，Bob是对的

在使用limit时，回想一下与大O表示法等效的定义：

f(n) is in O(g(n)) iff 
lim_n->infinity: f(n)/g(n) < infinity

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因此，

n*n^k

不在

O（n！）

Amit解决方案是完美的，我只想添加更多的“人性化”解决方案，因为初学者可能很难理解定义

定义基本上是这样的-如果你增加值

n

，并且方法

f（n）

和

g（n）

只“不同”

k

，其中

k

是常数并且没有变化（例如

g（n）

总是高出约100倍，无论

n=10000

还是

n=1000000

），那么这些函数具有相同的复杂性

如果

g（n）

比

n=10000

高100倍，比

n=1000000

高80倍，那么

f（n）

具有更高的复杂性！因为当

n

不断增长时，

f（n）

最终会在某个点到达

g（n）

，然后它会比

g（n）

增长得越来越多。在复杂性理论中，你感兴趣的是，它将如何以“无限”（或更可想象的极高n值）结束

如果你比较

n和
n*n^2
，您可以看到，对于
n=10
，第二个函数的值要高出
10^2=100倍。对于
n=1000
，它的值要高出
1000^2=1000000
倍。正如你所能想象的那样，差别会越来越大

f(n) is in O(g(n)) iff 
lim_n->infinity: f(n)/g(n) < infinity

lim_n->infinity: (n!*n^k) / n! = lim_n->infinity n^k = infinity