Big o 是什么使两个函数在大O表示法中具有根本不同的效率时间

今天，我被提出了一个问题：根据效率对几个函数进行排序，并从数学上计算哪些函数具有相同的大O符号。长话短说，我最终与我的同学就运行时间为2^n的函数与运行时间为n^（n/2）的函数之间是否存在根本性差异产生了分歧

有人告诉我，在大O表示法中，当n接近无穷大时，前导系数最终变得无关紧要，因为它们只是同一父函数的垂直标度，当n很大时，6*n实际上与n没有太大区别，因为它们都有相同的父增长率，这是有意义的。我的论点是，因为函数的这种垂直缩放是无关紧要的，因为它只是同一事物的子函数，所以所做的任何常量转换都将保留整个父函数，因此子函数将具有相同的基本增长率，并最终简化为相同的表示法（在本例中为O（2^n））

我的同学指出

2^(n/2) = (2^(1/2))^n = sqrt(2)^n

…因为当n接近无穷大时，1.414^n比2^n小得多，所以它应该大得多

然后，我的同学提出，如果

lim((f(n)'s efficiency)/(g(n)'s efficiency)) as n->infinity 
    is either infinity (f(n) is bigger), or 0 (g(n) is bigger)

And because ((2^n) / (2^(n/2))) = ((2^(n/2) * 2^(n/2)) / (2^(n/2))) = 
    2^(n/2), approaches infinity, they must have a rate of change that is
    fundamentally different.

我同学的理论使两个算法具有不同的大O符号，这对于线性与线性、线性与二次以及几乎任何其他常见情况都是有意义的，但我的理论也是如此。转换后的线性函数（意味着它被垂直或水平平移或缩放，但不被负数、零等缩放）将始终具有O（n）的大O符号，因为它是线性的。任何二次函数最终都将是O（n^2），因为常数将变得无关紧要，只有n^2项才重要，因为它是一个变换的二次函数。（也适用于其他东西，你明白了）显然，x^2与x^3根本不同，因为你无法缩放二次函数以匹配三次函数，所以它们必须足够不同，才能在大O中获得自己的类别

显然[至少]我们中有一个人的想法是错误的。我的意思是，要么O（2^（n/2））被简化为O（2^n），要么它没有，对吗

那么，我们中的哪一个（如果其中一个）是对的，为什么另一个是错的，最重要的是，我们如何判断在这样的情况下，两种效率低下是不是根本不同

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谢谢

您最初的问题比较了2^n和n^（n/2）。很容易看出，n^（n/2）比n^（n/2）慢，因为在n=4时，它们相等（16），从这一点上看，n^（n/2）越来越大

2^（n/2）比这两者都小。实际上，其中c是常数，nc是n*a常数，nc^c

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在2^n对2^（n/2）的情况下，2^n有一个更大的O，因为没有常数能使2^（n/2）随着n的增加而跟上它。

你最初的问题比较了2^n和n^（n/2）。很容易看出，n^（n/2）比n^（n/2）慢，因为在n=4时，它们相等（16），从这一点上看，n^（n/2）越来越大

2^（n/2）比这两者都小。实际上，其中c是常数，nc是n*a常数，nc^c 在2^n对2^（n/2）的情况下，2^n有一个更大的O，因为没有常数可以使2^（n/2）随着n的增加而跟上它