Big o 在大O表示法中查找n0

这是我上一个问题的继续。我学会了如何验证这种关系是否持续了一段时间

3n2 − 100n + 6 = O(n2), 

因为我选择了

c=3

和

3n2>3n2− 100n+6

特别是如果

c=1

和

n0

为

0.06

，如果n大于0.06，则表示

n=5

5^2 = 25 > 3*5^2 − (100*5) + 6 = -469

现在，我似乎无法将同样的方法应用于以下等式

3n2 − 100n + 6 = O(n3), because I choose c = 1 and n3 > 3n2 − 100n + 6 when n > 3; 

让我烦恼的是“当n>3”部分，假设

n=2

f(n) - 3*2^2 − (100*2) + 6 = -182

f(g) - 2^3 = 8

8 > -182 

这种关系依然存在

我想我在某个地方犯了一个错误，因为我无法让自己确信这种关系只有在

n>3

时才会成立。我该怎么办？

正如我在中所写的，满足

f(n) < c · g(n), for all n > n0,                         (+)

这里，我们可以展示（i）和（ii），但前者提供了比后者更严格的f（n）渐近行为的界。通常，我们希望找到一个尽可能紧的大O界，但在实践中，有时一个足够好的界就足够了。考虑以下情况：

• 假设我们有一些函数或算法f（n）。此外，假设在证明f（n）是否在O（n^2）中有很大的努力，而证明f（n）在O（n^3）中很容易在几分钟内完成。然后说你的老板需要知道你的算法在渐近上是否至少比n^3“更好”：因此，证明f（n）在O（n^3）中就足够了。很可能，在这种情况下，你的雇主不希望你花整个下午的时间证明f（n）实际上比n^2渐进地“更好”

---

应您的要求，我将添加一个解释，说明如何证明f（n）在O（n^3）中，以及为什么（非唯一）选择常数c=3是有意义的（=容易获得）

问题：显示

f（n）=3n2− 100n+6

处于

O（n3）

我们将使用与中类似的方法

让我们把函数描述为它的最高项和另一个函数的和

f(n) = 3n^2 + h(n)                                       (*)
h(n) = 6 - 100n                                          (**)

在前面的线程中，我们非常容易地显示了（我只是在这里列出结果）

使用上面的结果（i-ii），我们可以从

3*n^2

的角度对该函数说些什么

现在，我们很容易达到（iii），因为已经有了结果（ii），而结果（ii）也很容易达到。因此，选择

n0=3

非常自然。另外，请注意，（iii）准确地描述了关系（+），但具有常数

c=1

；因此选择c作为1

因此，我们已经证明（+）对于常数集（c，n0）=（1,3），是成立的，随后，f（n）在O（n^3）中

---

同样，我们可以通过直接解决“n0的哪个最小值‘n^2-100n+6n0’成立？”的问题，找到一个较低的值

n0

，但我们对此并不感兴趣：我们想看看我们研究的函数的渐近行为

---

因此，任何常数集

（c，n0）

都有助于我们证明（+）是足够的，而寻找其他常数集（具有较小n0值等）的任何进一步工作可能是代数中有价值的练习，但对于我们分析f（n）的渐近行为没有价值.

这就是为什么定义说n>n0的

。它是否适用于
n@ndn我想不再是0.06了。我以前理解这个问题，但现在有了新问题“3n2”− 100n+6=O（n3），因为我选择c=1，n3>3n2− 当n>3时，100n+6；”。我为“当n>3”而烦恼，因为我尝试了如果n=2，关系是否仍然成立？也就是说，8>-182（请参见问题末尾）。这一次，这本书提供了n0的值，但我无法说服自己，如果n抱歉，没有看到新问题是关于
O（n^3）
，那么这种关系就不可能成立。同样的逻辑仍然适用。@ndn但为什么n>3？如果n<3，例如n=2，这仍然是正确的，对吗？
n>3
只是一个例子。只要条件成立，您可以使用任何
n0
。例如，
n0=-100
不会削减它。那么我比较这两个函数的方法呢？也就是说，我刚才替换n的方式就像“f（n）-3*2^2− （100*2）+6“，它与您在上一个线程中描述的方法相比如何？@morbidCode在您上面问题的最后一个“代码框”中，您正在对两个函数进行点比较（比较它们在特定点的值）。这实际上不能用来说明它们的渐近行为，因为局部调查几乎没有说明函数的行为。关于上面评论中的第二个问题：我将编辑一个分析函数w.r.t.O（n^3）的示例。谢谢！我想知道，因为你已经提到了代数。我需要什么代数技能来解决这类问题？我看到你用线性不等式找到了n，其中方程-100n+6=0，对吗？@morbidCode不客气，祝你编码和大O学习好运！谢谢啊，关于我的大O研究。我有一个后续问题，我认为这将帮助我决定继续。你介意回答吗？再次感谢！
f(n) = 3n^2 + h(n)                                       (*)
h(n) = 6 - 100n                                          (**)

    => h(n) < 0, given n > 6/100                         (i)
    => f(n) < 3*n^2, given n > 6/100                     (ii)

g(n) = n^3                                               (***)

for n = 3: g(3) = 3^3 = 3*3^2 > f(3) ((ii): since n = 3 > 6/100)
hence,    

   =>  for n > 3: g(n) > f(n)                            (iii)