Big o （日志n）^k=O（n）？对于大于或等于1的k

（日志n）^k=O（n）？k大于或等于1。

我的教授在课堂上向我们介绍了这句话，但是我不确定函数的时间复杂度为O（n）意味着什么。甚至像

n^2=O（n^2）

这样的东西，函数f（x）怎么会有运行时复杂性呢

至于这个陈述，它如何等于O（n）而不是O（（logn）^k）

（日志n）^k=O（n）

对。大Oh的定义是，如果存在正常数n和c，则函数

f

在O（g（n））中，这样对于所有

n>n

：

f（n）
f（x）=O（g（x））
意味着
f（x）
增长较慢或与
g（x）
相当

从技术上讲，这被解释为“我们可以找到一个
x
值，
x\u 0
，和一个比例因子，
M
，这样
f（x）
过去的
x\u 0
的大小小于
g（x）
的比例大小，或者在数学上：

| f（x）|x|0

关于你的问题：

log（x）^k=O（x）？
在问：有这样的x_0和M吗
log（x）^kx\u 0

这种
M
和
x_0
的存在可以使用各种极限结果来完成，并且使用L'Hopitals规则相对简单。。然而，它可以在没有微积分的情况下完成


我能得到的最简单的证明，不依赖于L'Hopitals规则，使用泰勒级数

e^z = 1 + z + z^2/2 + ... = sum z^m / m!

使用
z=（N！x）^（1/N）
我们可以看到

e^(x^(1/N)) = 1 + (N! x)^(1/N) + (N! x)^(2/N)/2 + ... (N! x)^(N/N)/N! + ...

对于x>0，所有的项都是正的，所以只保留第n项，我们就得到了

e^((N! x)^(1/N)) = N! x / N! + (...) 
                 = x + (...)
                 > x  for x > 0

取两边的对数（因为对数是单调递增的），然后增加到N次方（因为N>0也是单调递增的）

这正是我们需要的结果，对于一些
M
和所有
x>x0
，使用
M=N和
x_0=0
“你的问题应该有合理的范围。如果你能想象一整本书都能回答你的问题，那你问得太多了。”
(N! x)^(1/N) > log x  for x > 0
N! x > (log x)^n      for x > 0