C 浮点加法/乘法/除法

我在做课本上的一些家庭作业，对某些算术运算的浮点舍入/精度有一些问题

如果我用这样的整型铸造双打：

int x = random();
double dx = (double) x; 

假设变量y、z、dy和dz遵循相同的格式

那么，我们希望：

(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)
(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)

联想？我知道，如果我们有分数表示，那么它就不会有关联性，因为根据哪些操作数彼此相加/相乘，舍入会损失一些精度。然而，由于这些都是从整数中浇铸出来的，我觉得精度不会有问题，而且这些可以是关联的

最后，我使用的教科书根本没有解释FP除法，所以我想知道这句话是不是真的，或者至少是浮点除法的一般工作原理：

dx / dx == dz / dz

---

我在网上查到了这一点，我在一些领域读到了类似3/3这样的操作可以产生0.999…9，但没有足够的信息来解释这是如何发生的，或者它是否会随其他部门的操作而变化

假设

int

最多为32位，并且

double

遵循IEEE-754

double

最多可以精确存储253个整数值

---

在添加的情况下：

(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)

==

的两边都有精确的值，因此它是关联的

---

而在乘法的情况下：

(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)

---

值可能超过253，因此不能保证它们相等。

您应该了解，浮点数通常在内部表示为符号位、定点尾数（52位，其中隐含的前导一位）和二进制指数（11位表示IEEE双精度）。可以将指数视为给定值的数学单位的“量子”

如果总和都符合尾数，且指数不超过20==1，则加法应该是关联的。如果

random（）

生成的是32位整数，则将适合使用

（dx+dy）+dz这样的和，并且加法将是关联的

在乘法的情况下，很容易看出2个32位数字的乘积可能超过53位，因此指数可能需要超过1，尾数才能包含结果的大小，因此关联性失败

对于除法，在
dx/dx
的特殊情况下，编译器可能会用常数1.0替换表达式（可能是在零检查之后）。
一个好的编译器应该识别dx/dx，而不是实际发出除法指令。您可以准确地将最大为2^53+1的任何值表示为双精度。除此之外，您还会遇到舍入错误，即使对于整数类型也是如此。你可能还记得，从小学时代起，一个数字除以它本身就是1，所以比较“可能”是有效的。但是，一般情况下，不应使用“==”来比较浮点数，而是应获取绝对值，获取差值，检查差值是否小于某个threshold
（dx*dy）*dz==dx*（dy*dz）
如果
的精度是
int
精度的两倍，这是一个问题-通常情况下
（dx+dy）+dz==dx+（dy+dz）
不太可能是个问题，因为
的精度比
int
的精度+1高一倍
dx/dx==dz/dz
明显的问题应该是
dx==0
或
dz==0
。指数还有一个内置的偏移量（我想是256），允许正指数和负指数，而不必为符号消耗一点。指数偏移量（通常称为偏差）是指数范围的一半。对于指数为11位的IEEE double，偏差为1023。对于IEEE single，它是127。只是澄清一下，所以双精度can存储的最大值是2^53的原因是52位尾数+隐含的前导1？要清楚：
double
可以精确存储所有整数
-pow（2,53）+pow（2,53）
--包括在内-就像54位有符号整数或
int54\u t
。