C 求函数时间复杂度的精确方法

如何找到此函数的时间复杂度：

代码

void f(int n)
{
    for(int i=0; i<n; ++i)
        for(int j=0; j<i; ++j)
            for(int k=i*j; k>0; k/=2)
               printf("~");
}

void f（int n）
{
对于（int i=0；i对于
i
，
i>0
，将有
i-1
内环值，分别从以下位置开始计算
k
：

i*1, i*2, ..., i(i-1)

由于
k
除以
2
直到它达到
0
，因此每个内部循环都需要
lg（k）
步骤。因此

lg(i*1) + lg(i*2) + ... + lg(i(i-1)) = lg(i) + lg(i) + lg(2) + ... + lg(i) + lg(i-1)
                                     = (i-1)lg(i) + lg(2) + ... + lg(i-1)

因此，总数将为

f(n) ::= sum_{i=1}^{n-1} i*lg(i) + lg(2) + ... + lg(i-1)

现在让我们从上面绑定
f（n+1）
：

f(n+1) <= sum_{i-1}^n i*lg(i) + (i-1)lg(i-1)
       <= 2*sum_{i-1}^n i*lg(i)
       <= C*integral_0^n x(ln x)            ; integral bound, some constant C
        = C/2(n^2(ln n) - n^2/2)            ; integral x*ln(x) = x^2/2*ln(x) - x^2/4
        = O(n^2*lg(n))

对于
i
，
i>0
的每个值，将有
i-1
内环的值，每个
k
值分别从以下位置开始：

i*1, i*2, ..., i(i-1)

由于
k
除以
2
直到它达到
0
，因此每个内部循环都需要
lg（k）
步骤。因此

lg(i*1) + lg(i*2) + ... + lg(i(i-1)) = lg(i) + lg(i) + lg(2) + ... + lg(i) + lg(i-1)
                                     = (i-1)lg(i) + lg(2) + ... + lg(i-1)

因此，总数将为

f(n) ::= sum_{i=1}^{n-1} i*lg(i) + lg(2) + ... + lg(i-1)

现在让我们从上面绑定
f（n+1）
：

f(n+1) <= sum_{i-1}^n i*lg(i) + (i-1)lg(i-1)
       <= 2*sum_{i-1}^n i*lg(i)
       <= C*integral_0^n x(ln x)            ; integral bound, some constant C
        = C/2(n^2(ln n) - n^2/2)            ; integral x*ln(x) = x^2/2*ln(x) - x^2/4
        = O(n^2*lg(n))

似乎唯一困难的部分是如何处理
k=i*j
。这可以通过意识到
log（n^2）=2log（n）
和big-O忽略常量来处理。的确，我注意到了这些事情，但正如你所说，ij部分令人困惑。最内部的循环执行log（ij）次，所以我们这里有某种总和，我似乎无法准确地表达出来，我明白。你在寻找精确的公式，比如
1+2+3+…+n=n（n+1）/2
。我不确定这段代码是否有这样一个公式，但你可以试试运气。看起来唯一困难的部分是如何处理
k=I*j
。这可以通过实现
log（n^2）=2log（n）来处理
而big-O忽略常量。确实如此，我注意到了这些事情，但问题是，正如你所说，ij部分令人困惑。最里面的循环执行log（ij）次，所以我们这里有某种总和，我似乎无法准确地表示出来，我明白。你在寻找精确的公式，比如
1+2+3+…+n=n（n+1）/2
。我不确定这段代码是否有这样的公式，但你可以试试运气。