C 如何计算模数除法

在寻找除法模数时，我被困在一个程序中

比如说我有：

((a*b*c)/(d*e)) % n

现在，我不能简单地计算表达式，然后将其模化为n，因为乘法和除法是在循环中进行的，并且该值足够大，即使在长时间内也不适合

正如在评论中阐明的，n可以被视为素数

我发现，对于乘法，我可以很容易地计算出：

((a%n*b%n)%n*c%n)%n

但当时不知道如何计算除法部分

我面临的问题是举一个简单的例子：

((7*3*5)/(5*3)) % 11 

上述表达式的值为7

但如果我计算乘法，模，它会像：

((7%11)*(3%11))%11 = 10
((10%11)*(5%11))%11 = 6

现在我只剩下6/15了，我没有办法得出正确的答案

谁能帮帮我吗。请通过上面的例子让我理解逻辑。

我想你可以像这样分配分区

z = d*e/3
(a/z)*(b/z)*(c/z) % n

---

只剩下整数除法问题。

因为11是素数，Z11是一个字段。由于

15%11

是

4

，

1/15

等于

3

（因为

3*4%11

是1）。因此，

6/15

是

6*3

，这是

7

11模

在问题下方的评论中，您阐明了模数始终是素数

要高效地生成乘法逆表，可以将

2

提高到连续幂，以查看它生成的值。注意，在一个域Zp中，p是奇数素数，2p-1=1。因此，对于Z11：

所以

5

（24）的乘法逆是26（9）

因此，您可以像这样生成上表：

power_of_2[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
    power_of_2[i] = (2*power_of_2[i-1]) % n;
}

mult_inverse[1] = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
    mult_inverse[power_of_2[i]] = power_of_2[n-1-i];
}

_2[0]=1的

power_；
对于（int i=1；i

乘法逆表可以这样计算：

power_of_2[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
    power_of_2[i] = (2*power_of_2[i-1]) % n;
}

mult_inverse[1] = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
    mult_inverse[power_of_2[i]] = power_of_2[n-1-i];
}

mult_逆[1]=1；
对于（int i=1；i

我认为您遇到的问题是，您选择了一个太简单的问题作为示例。在这种情况下，答案是7，但是如果a*b*c不能被c*d平均整除呢？您可能应该首先查看如何使用模进行除法，这对您来说应该很清楚：）

在您的示例中，由于15=4 mod 11，您实际上需要计算（6/4）mod 11

为了找到这个问题的精确解，将其重新排列为6=（（x*4）mod 11），这就更清楚了模除的工作原理

如果没有其他情况，如果模始终很小，则可以从0迭代到模-1以获得解

请注意，当模数不是素数时，简化问题可能有多种解决方案。例如，4=（（x*2）mod 8有两种解决方案：2和6。这将发生在形式问题减少的情况下：

  a = ( (x * b) mod c)

当b和c不是相对素数时（即当它们共享一个公约数时）

类似地，当b和c不是相对素数时，约化问题可能没有解。例如，3=（（x*2）mod 8）没有解。当b和c的最大公约数不除a时，就会发生这种情况

---

后两种情况是当n不是素数时，0到n-1非的整数在乘法下形成一个群（或等价地，在+和*下形成一个域），而只是形成一个环的不太有用的结构

不要用除法，而要用乘法逆。对于mod-n系统中的每个数字，如果满足某些条件，则应该有一个倒数。对于d和e，求出这些倒数，然后它们都是相乘的。求逆不是除法！有很多信息…

我认为这个问题的提问方式应该假设分子可以被分母整除。在这种情况下，质数n的有限域解和关于非质数n的可能扩展和警告的推测基本上是多余的。如果所有分子项和分母项都存储在数组中，则可以迭代测试（分子项、分母项）对，并快速找到最大公约数（gcd），然后将分子项和分母项除以gcd。（找到gcd是一个经典的问题，你可以很容易地在网上找到一个简单的解决方案。）在最坏的情况下，你必须迭代所有可能的对，但在某个点上，如果分母确实除以分子，那么你最终会得到减少的分子项，所有分母项都将为1。然后您就可以按照您描述的方式应用乘法（避免溢出）。

因为n是素数，所以除以整数b就是简单地乘以b的逆。即:

(a / b) mod n = (a * inv(b)) mod n

在哪里

使用该算法可以在O（log（n））时间内完成inv（b）的计算。代码如下：

int inv(int b, int n)
{
    int r = 1, m = n - 2;
    while (m)
    {
        if (m & 1) r = (long long)r * b % n;
        b = (long long)b * b % n;
        m >>= 1;
    }
    return r;
}

为什么有效？根据费马的小定理，如果n是素数，则对于任何正整数b，b^（n-1）mod n=1。因此我们有inv（b）*b模n=1

---

查找inv（b）的另一个解决方案是，它需要更多的代码来实现。

为什么

/3

是答案的一部分？不，您必须执行立方根

z=（d*e）**（1/3）

。（或者是C）但是

n

不一定是素数。@iamnotmaynard:我没说这是一个通解，他想知道如何从他的例子中得出正确的答案。OP正在寻找一个通解。@iamnotmaynard:通解可能来自中国的余数定理，但我的数论在这一点上太生疏了。@PieterGeerkens:

n

是素数，根据问题下的评论。a%n=a-（n*int（a/n））使用一个大整数库。（a/b）mod n=（（a mod n）（1/b mod n）mod n）@Randy不能保证

b

有一个逆模