C 前向模式自动微分与数值微分与符号微分的计算效率

我试图用C语言中的Newton-Raphson（NR）方法解决一个求函数根的问题。我想求根的函数主要是多项式函数，但也可能包含三角函数和对数函数

NR方法要求找到函数的微分。实施差异化有三种方法：

• 象征性
• 数字的
• 自动（子类型为正向模式和反向模式。对于这个特殊问题，我想重点讨论正向模式）

我有数千个这样的函数，所有这些函数都需要在尽可能快的时间内找到根

据我所知，一般来说，自动微分比符号微分更快，因为它能更有效地处理“表达式膨胀”的问题

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因此，我的问题是，在所有其他条件相同的情况下，哪种微分方法计算效率更高：自动微分（更具体地说，正向模式）还是数值微分？

如果你的函数真的都是多项式，那么符号导数就非常简单。让多项式的系数存储在一个具有条目

p[k]=a_k

的数组中，其中索引k对应于x^k的系数，则导数由具有条目

dp[k]=（k+1）p[k+1]

的数组表示。对于多变量多项式，这直接扩展到多维数组。如果您的多项式不是标准形式，例如，如果它们包含诸如

（x-a）^2

或

（（x-a）^2-b）^3

之类的术语，则需要做一些工作才能将其转换为标准形式，但无论如何，这可能是您应该做的事情。

如果导数不可用，你应该考虑使用割线法或法拉法。它们有很好的收敛速度（φ阶而不是二次型）。regula-falsi的另一个好处是迭代仍然局限于初始间隔，这允许可靠的根分离（牛顿没有）

还请注意，与导数的数值计算相比，您需要对函数进行多次计算，最多两次。然后实际收敛速度下降到√2，其表现优于无导数方法

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还要注意，导数的符号表达式通常比函数本身的计算成本更高。因此，牛顿的一次迭代至少要花费两次函数求值，破坏了收敛速度的优势。

我可能遗漏了一些东西，但如果你只处理多项式函数，那么直接找到微分函数。aX^n->naX^n-1我的道歉，后期编辑。它们大多包含多项式，但也可以包含其他更复杂的表达式。如何显示触发器和日志？是否有多项式的三角函数，或多项式的对数等。？（例如，在有限的加法和乘法步骤下，这是涉及x、sin（a+bx）、cos（a+bx）和log（a+b*x）的函数的完整空间吗）？或者它们是简单的触发器、日志——可能是x的幂函数空间、简单触发器和简单日志在加法下完成？简言之，对上述所有内容都是肯定的，即需要应用链式规则对其进行评估。也就是说，trig函数可以包含多项式，例如sin（2x^2+3x），对数函数可以包含多项式，例如ln | 2x^2 |。正确，涉及多项式、三角函数和逻辑函数的完整函数空间可以识别纯多项式函数，并将其作为特例处理，因为微分函数易于计算。对于更复杂的函数，我不确定，但我想我会开始尝试数值方法。我的道歉，后期编辑。它们大多包含多项式，但也可以包含其他更复杂的函数expressions@4386427在C中，是的；我写这篇文章时没有考虑任何编程语言。我希望你能接受我的建议。我投票赞成regula falsi的建议——从未听说过。我真的很好奇专有软件包使用什么样的方法Matlab@DeanP：最可能的是更复杂的方法，包括括号和处理多个根。