Coq提取过程中的证据泄漏？

为了理解一般的递归

函数
定义是如何工作的，以及它们是如何符合Coq的结构递归约束的，我尝试在Peano自然数上重新实现它。我想定义递归的
nat->nat
函数，这些函数可以使用任何先前的值，而不仅仅是先前的值。以下是我所做的：

  Definition nat_strong_induction_set
             (* erased at extraction, type specification *)
             (P : nat -> Set)
             (* The strong induction step. To build the P n it can, but does not have to, 
                recursively query the construction of any previous P k's. *)
             (ind_step : forall n : nat, (forall k : nat, (lt k n -> P k)) -> P n)
             (n : nat)
    : P n.
  Proof.
    (* Force the hypothesis of ind_step as a standard induction hypothesis *)
    assert (forall m k : nat, lt k m -> P k) as partial_build.
    { induction m.
      - intros k H0. destruct k; inversion H0.
      - intros k H0. apply ind_step. intros k0 H1. apply IHm. apply (lt_transitive k0 k).
        assumption. apply le_lt_equiv. assumption. }
    apply (partial_build (S n) n). apply succ_lt.
  Defined.

我在NAT上使用了一些自定义引理，我没有粘贴在这里。它起作用了，我用它定义了欧几里得除法
divab
，它递归地使用
div（a-b）b
。提取几乎是我所期望的：

let nat_strong_induction_set ind_step n =
  let m = S n in
  let rec f n0 k =
    match n0 with
    | O -> assert false (* absurd case *)
    | S n1 -> ind_step k (fun k0 _ -> f n1 k0)
  in f m n

除了
n0
参数之外。我们看到这个参数的唯一作用是在
sn
-n步停止递归。提取还提到不应发生此
断言false
。那么为什么要提取呢？这似乎更好

let nat_strong_induction_set ind_step n =
  let rec f k = ind_step k (fun k0 _ -> f k0)
  in f n

它看起来像是Coq的结构递归约束的一个小故障，以确保所有递归的终止。
nat\u strong\u inclution\u set
的Coq定义写入
lt k n
，因此Coq只知道将查询以前的
pk
。这使得NAT中的链逐渐减少，被迫以小于
sn
的步数终止。这允许从
sn
开始对附加燃油参数
n0
进行结构递归定义，不会影响结果。因此，如果它只是终止证明的一部分，为什么不通过提取来删除它呢？
您的匹配不会被删除，因为您的定义混合了两件事：需要匹配的终止参数和不需要匹配的计算相关递归调用

要强制擦除，您需要说服Coq匹配在计算上是无关的。您可以通过使终止参数（即，
m
上的归纳）生成命题的证明，而不是所有mk，lt k m->pk
类型的函数。幸运的是，使用
Fix
combinator，标准库提供了一种简单的方法：

Require Import Coq.Arith.Wf_nat.

Definition nat_strong_induction_set
             (P : nat -> Set)
             (ind_step : forall n : nat, (forall k : nat, (lt k n -> P k)) -> P n)
             (n : nat)
    : P n :=
  Fix lt_wf P ind_step n.

在这里，
lt\u wf
证明了
lt
是有根据的。当你提取这个函数时，你会得到

let rec nat_strong_induction_set ind_step n =
  ind_step n (fun y _ -> nat_strong_induction_set ind_step y)

这正是你想要的

（顺便说一句，请注意，定义除法不需要有良好基础的递归——例如，检查如何在中定义除法。）
该库对良好基础关系的定义非常好。这么简单。。。然而，我已经三天没能自己编写代码了。这给了我另一个关于归纳性质的问题，我不明白数学元件库中除法的定义是如何结构递归的。这是相同的算法，它迭代地从分子中减去分母。是否涉及到一些SSReflect黑魔法？@V.Semeria Coq的终止检查器比你想象的更聪明。它能够检测到，如果
m-n=sm'
，那么
m'
是
m
的一个子项，因为减法（）的定义返回它的第一个参数，而不是基于基本情况的0！（无可否认，这是一种黑客行为，但在这种情况下它确实派上了用场。）