阶乘N/（阶乘k*阶乘（N-k））是整数的Coq证明

我在Coq标准库中找不到证明

N choose k

是整数的证据。这个引理的一个简短的自包含的证明是什么

Lemma fact_divides N k: k <= N -> Nat.divide (fact k * fact (N - k)) (fact N).

引理fact_除以nk:k Nat.divide（fact k*fact（N-k））（fact N）。 我看到他们通过递归地定义

choose

，

choose（N，k）=choose（N-1，k）+choose（N-1，k-1）

避开了整个问题，然后显示

choose（N，k）*k！*（N-k）！=N

然而，如果不借助帕斯卡三角形也能直接证明上述内容，那就太好了。当我在堆栈上搜索它时，出现了许多“非正式”证明。*隐式地使用有理数的代数步骤，并且它们不需要费心证明它适用于严格的
nat
除法

编辑：
多亏了@Bubbler下面的答案（基于），证明是正确的

简介。析构函数（fact_div_fact_fact k（N-k））为[d Hd]。
存在d。重写而不是笨拙的负号，我将声明如下：

Theorem fact_div_fact_fact : forall x y, exists e, fact (x + y) = e * (fact x * fact y).

我相信你可以从这个引理，结合
（x+y）*fact2xy'
结束。
引理fact2_0:forall x，fact2 0 x=factx。
证明。
诱导x。
-自动的。
-简单。重写IHx。自动的。Qed。
引理fact2：对于所有xy，factx*fact2xy=fact（x+y）。
证明。
诱导x。
-介绍。简单。重写事实2_0。铃声。
-诱导y。
+简单。将（x+0）替换为x接环。铃声。
+简单。用环将（x+S y）替换为（S x+y）。重写是通过帕斯卡的三角真的不是“直接证明”？可除性被定义为将q p:=（存在w，p=q*w）
，在这种情况下，见证人
w
正是
choose（n，k）
。我希望得到一个不需要将表达式识别为某个递归方程的解的证明，这通常需要一些神圣的洞察力，而是为了一个只涉及代数运算的简单证明。必须引入素数、代数基本定理等概念，或者在这种情况下，提出
choose
，等等，这感觉有点过分了（尽管很漂亮）。非正式的证明只要求k个连续整数的乘积总是可以被k整除！，（除了“作弊”的合理划分……）这听起来很公平。我认为证明的所有困难都可以在你提到的最后一个事实中找到，因为，根据你如何形式化它，它的陈述几乎可以成为你试图证明的目标。是的，这是真的。这不是一个Coq问题，而是一个简单的数学问题。谢谢，这太完美了！
From Coq Require Import Arith.

(* Let's prove that (n+m)! is divisible by n! * m!. *)

(* fact2 x y = (x+1) * (x+2) * .. * (x+y) *)

Fixpoint fact2 x y := match y with
  | O => 1
  | S y' => (x + y) * fact2 x y'
end.

Lemma fact2_0 : forall x, fact2 0 x = fact x.
Proof.
  induction x.
  - auto.
  - simpl. rewrite IHx. auto. Qed.

Lemma fact_fact2 : forall x y, fact x * fact2 x y = fact (x + y).
Proof.
  induction x.
  - intros. simpl. rewrite fact2_0. ring.
  - induction y.
    + simpl. replace (x + 0) with x by ring. ring.
    + simpl. replace (x + S y) with (S x + y) by ring. rewrite <- IHy. simpl. ring. Qed.

Lemma fact2_left : forall x y, fact2 x (S y) = S x * fact2 (S x) y.
Proof. intros x y. generalize dependent x. induction y.
  - intros. simpl. ring.
  - intros. unfold fact2. fold (fact2 x (S y)). fold (fact2 (S x) y).
    rewrite IHy. ring. Qed.

Lemma fact_div_fact2 : forall x y, exists e, fact2 x y = e * fact y.
Proof. intros x y. generalize dependent x. induction y.
  - intros. simpl. exists 1. auto.
  - induction x.
    + unfold fact2. fold (fact2 0 y). unfold fact. fold (fact y). destruct (IHy 0). rewrite H.
      exists x. ring.
    + unfold fact2. fold (fact2 (S x) y).
      destruct (IHy (S x)). destruct IHx. exists (x0 + x1).
      replace ((S x + S y) * fact2 (S x) y) with (S x * fact2 (S x) y + S y * fact2 (S x) y) by ring.
      rewrite <- fact2_left. rewrite H0. rewrite H.
      replace (S y * (x0 * fact y)) with (x0 * (S y * fact y)) by ring.
      unfold fact. fold (fact y). ring. Qed.

Theorem fact_div_fact_fact : forall x y, exists e, fact (x + y) = e * (fact x * fact y).
Proof. intros x y. destruct (fact_div_fact2 x y). exists x0.
  rewrite <- fact_fact2. rewrite H. ring. Qed.