如何在Coq中给出反例？

有没有可能给一个不适用于一般情况的陈述举个反例？比如，all-quantor不分布在连接词“or”上。首先，你会如何陈述

Parameter X : Set.
Parameter P : X -> Prop.
Parameter Q : X -> Prop.

(* This holds in general *)
Theorem forall_distributes_over_and
  : (forall x:X, P x /\ Q x) -> ((forall x:X, P x) /\ (forall x:X, Q x)).
Proof.
intro H. split. apply H. apply H.
Qed.

(* This doesn't hold in general *)
Theorem forall_doesnt_distributes_over_or
  : (forall x:X, P x \/ Q x) -> ((forall x:X, P x) \/ (forall x:X, Q x)).
Abort.

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下面是一个快速而肮脏的方法来证明与你想要的相似的东西：

Theorem forall_doesnt_distributes_over_or:
  ~ (forall X P Q, (forall x:X, P x \/ Q x) -> ((forall x:X, P x) \/ (forall x:X, Q x))).
Proof.
  intros H.
  assert (X : forall x : bool, x = true \/ x = false).
  destruct x; intuition.
  specialize (H _ (fun b => b = true) (fun b => b = false) X).
  destruct H as [H|H].
  now specialize (H false).
  now specialize (H true).
Qed.

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我必须量化否定中的xp和Q，以便能够提供我想要的。你不能用你的

参数

s来做这件事，因为它们以某种方式固定了一个抽象的

X

，

P

和

Q

，从而使你的定理可能是真的。

一般来说，如果你想产生一个反例，你可以陈述公式的否定，然后证明这个否定是满足的