Coq 定义证明范围内的函数

我试图证明内射函数在Coq中是左可逆的。在我的证明中，我的目标是一个“存在”命题。我想定义一个函数，它使用证明范围中的术语（我之前介绍过的类型和函数），然后向“exists”目标显示该函数。以下是我到目前为止写的内容：

（*函数组合*）
定义fun_comp{A B C:Type}（f:A->B）（g:B->C）：A->C:=
乐趣a:a=>g（fa）。
符号“g.o.f”：=（乐趣互补）（在70级）。
定义非空（A:Type）：=存在A:A，A=A。
（*任何给定类型的标识函数*）
定义fun\u id（A:Type）：=fun A:A=>A。
（*左可逆*）
定义l_可逆{ab:Type}（f:A->B）：=
存在fl:B->A，fl.o f=fun\U id A。
定义内射{ab:Type}（f:A->B）：=
对于所有a:a，f a=f a'->a=a'。
（*是函数映像中的给定元素？*）
_fun_图像{ab:Type}（B:B）（f:A->B）中的定义元素：=
存在a:a，fa=b。
定理内射是可逆的：
对于所有（ab:Type）（f:A->B），非空A/\内射f->l_可逆f。
证明。
介绍A、B、f、H。
将H分解为[Hnempty Hinj]。
展开l_可逆。
在空中展开非空。
将Hnempty分解为[a0]。
（*这里是我的函数定义和调用“exists myfun”*）

下面是我试图定义的函数：

Definition fL（b:b）：=if elem_in_fun_image b f
然后f a
否则a0。

下面是防风雨窗的外观：

1子目标
A:类型
B:类型
f:A->B
a0:A
H:a0=a0
Hinj：内射f
========================= (1 / 1)
存在fl:B->A，（fl.o f）=乐趣id A

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我该怎么做？我对Coq非常陌生，因此欢迎其他评论和指针。

此定义不能在基本逻辑中执行。您需要添加一些额外的公理：

(* from Coq.Logic.FunctionalExtensionality *)
functional_extensionality : forall A B (f g : A -> B),
  (forall x, f x = g x) -> f = g

(* from Coq.Logic.Classical *)
classic : forall P : Prop, P \/ ~ P

(* from Coq.Logic.ClassicalChoice *)
choice : forall (A B : Type) (R : A->B->Prop),
  (forall x : A, exists y : B, R x y) ->
   exists f : A->B, (forall x : A, R x (f x)).

目标是定义一个关系

R

，该关系表征要构造的左逆。存在量化的

f

将是相反的！您将需要

经典

公理来显示

选择

的前提条件，并且需要函数扩展性来显示所需的等式。我将把它作为一个练习，以了解

R

需要什么以及如何完成证明