Coq 如何显示如果平方相等，那么操作数也相等？

我在完成这个引理的证明时遇到了一个问题：

Lemma l1 : forall m n  : nat, m * m = n * n -> m = n.

任何暗示都会很有帮助

我是这样开始证明的：

Require Import Arith Omega Nat.
Lemma l1 : forall m n  : nat, m * m = n * n -> m = n.
Proof.
intros.
destruct (Nat.eq_dec m n ).
trivial.
induction n.
induction m.
auto.
simpl in H;congruence.

提示：取假设两边的平方根，然后立即得出结论。对于平方根函数，使用Arith模块中的Nat.sqrt

第一个解决方案：

第二种解决方案：

还可以使用nia策略证明引理，nia策略是整数非线性算法的不完整证明程序：

Require Import Psatz.

Lemma l1 m n : m * m = n * n -> m = n.
Proof. nia. Qed.

第三种解决方案：

让我们使用标准Nat.square\u le\u Siml\u nonneg引理的两倍：

第四种解决办法：

这是一个经典的证明，基于以下等式

m * m - n * n = (m + n) * (m - n)

首先，我们需要一个helper引理来证明上述等式，令人惊讶的是，标准库似乎缺少这个引理：

Require Import Coq.Arith.Arith.

(* can be proved using `nia` tactic *)
Lemma sqr_diff (m n : nat) :
    m * m - n * n = (m + n) * (m - n).
Proof with (auto with arith).
  destruct (Nat.lt_trichotomy m n) as [H | [H | H]].
  - pose proof H as H'.    (* copy hypothesis *)
    apply Nat.square_lt_mono_nonneg in H...
    repeat match goal with
      h : _ < _ |- _ => apply Nat.lt_le_incl, Nat.sub_0_le in h
    end.
    rewrite H, H'...
  - now rewrite H, !Nat.sub_diag.
  - rewrite Nat.mul_add_distr_r, !Nat.mul_sub_distr_l.
    rewrite Nat.add_sub_assoc...
    replace (n * m) with (m * n) by apply Nat.mul_comm.
    rewrite Nat.sub_add...
Qed.

现在我们可以证明主要引理：

Lemma l1 (m n : nat) :
    m * m = n * n -> m = n.
Proof.
  intros H.
  pose proof (Nat.eq_le_incl _ _ H) as Hle;
  pose proof (Nat.eq_le_incl _ _ (eq_sym H)) as Hge; clear H.
  rewrite <- Nat.sub_0_le in *.
  rewrite sqr_diff in *.
  destruct (mult_is_O _ _ Hle) as [H | H].
  now destruct (plus_is_O _ _ H); subst.
  destruct (mult_is_O _ _ Hge) as [H' | H'].
  now destruct (plus_is_O _ _ H'); subst.
  rewrite Nat.sub_0_le in *.
  apply Nat.le_antisymm; assumption.
Qed.

---

你确定这是一个关于Coq的问题吗？你真的试过用笔和纸来证明这个引理吗？如果您有，请与我们分享您的证明的主要步骤，我们可以帮助您将其正式化。记住：这并不是因为Coq告诉你第一步是好的，你必须朝着正确的方向前进。

m * m - n * n = (m + n) * (m - n)

Require Import Coq.Arith.Arith.

(* can be proved using `nia` tactic *)
Lemma sqr_diff (m n : nat) :
    m * m - n * n = (m + n) * (m - n).
Proof with (auto with arith).
  destruct (Nat.lt_trichotomy m n) as [H | [H | H]].
  - pose proof H as H'.    (* copy hypothesis *)
    apply Nat.square_lt_mono_nonneg in H...
    repeat match goal with
      h : _ < _ |- _ => apply Nat.lt_le_incl, Nat.sub_0_le in h
    end.
    rewrite H, H'...
  - now rewrite H, !Nat.sub_diag.
  - rewrite Nat.mul_add_distr_r, !Nat.mul_sub_distr_l.
    rewrite Nat.add_sub_assoc...
    replace (n * m) with (m * n) by apply Nat.mul_comm.
    rewrite Nat.sub_add...
Qed.

Lemma l1 (m n : nat) :
    m * m = n * n -> m = n.
Proof.
  intros H.
  pose proof (Nat.eq_le_incl _ _ H) as Hle;
  pose proof (Nat.eq_le_incl _ _ (eq_sym H)) as Hge; clear H.
  rewrite <- Nat.sub_0_le in *.
  rewrite sqr_diff in *.
  destruct (mult_is_O _ _ Hle) as [H | H].
  now destruct (plus_is_O _ _ H); subst.
  destruct (mult_is_O _ _ Hge) as [H' | H'].
  now destruct (plus_is_O _ _ H'); subst.
  rewrite Nat.sub_0_le in *.
  apply Nat.le_antisymm; assumption.
Qed.