Coq nat到bool不等式的一个简单（r）证明

在做的练习中，我需要一个推导，如下面的定理

not_eq_nat_beq_nat_false

所示。在与各种战术和标准定理斗争了一段时间后，我放弃了，并决定使用下面的定理

然而，我仍然觉得应该有一种更简单的方法来证明这一点。例如，它的双

eq_nat__beq_nat_true

就简单得多

Require Export Arith.
Require Export Arith.EqNat.

Theorem ex_falso_quodlibet : forall (P:Prop), False -> P.
Proof.
  intros P contra.
  inversion contra.
Qed.

Theorem not_eq_nat__beq_nat_false: forall n m : nat
, n <> m -> (n =? m) = false
.
Proof.
  intros.
  unfold not in H.
  destruct (n =? m) eqn:beqval; try reflexivity.
  apply ex_falso_quodlibet. apply H.
  apply beq_nat_true; assumption.
Qed.

Theorem eq_nat__beq_nat_true: forall n m : nat
, n = m -> (n =? m) = true
.
Proof.
  intros.
  rewrite H. symmetry. apply beq_nat_refl.
Qed.

---

确实很简单。

我知道你使用了std引理，比如

beq\u nat\u true

，然后你可以使用

beq\u nat\u false\u iff

。否则，如果没有来自std库的引理，我会选择归纳法：

Theorem not_eq_nat__beq_nat_false: forall n m : nat
, n <> m -> beq_nat n m = false
.
Proof.
  induction n as [ | n hi]; intros [ | m] h; simpl in *; try reflexivity.
  - now elim h.
  - now apply hi; intro heq; apply h; rewrite heq.
Qed.

定理不等于自然：对于所有n m:n
，n m->beq_nat n m=false
.
证明。
诱导n-as[|n-hi]；简介[m]h；简单输入*；试试自反性。
-现在是艾琳·h。
-现在申请hi；heq简介；应用h；重写heq。
Qed。

通常我会在这里使用iff来合并两个引理（更好的是，你可以使用std库中的reflect）

firstorder

有时擅长应用上下文中的假设，并做一些乏味的事情，比如

intro

和

auto

。在这种特殊情况下，你可以简单地用

归纳法n，m；一阶。

如果这太神奇了，就做

归纳n，m；单纯形；汽车；一致性。

@ejgallego，你能举一个如何使用

反射的例子吗？@larsr，当然，请参见
Theorem not_eq_nat__beq_nat_false: forall n m : nat
, n <> m -> beq_nat n m = false
.
Proof.
  induction n as [ | n hi]; intros [ | m] h; simpl in *; try reflexivity.
  - now elim h.
  - now apply hi; intro heq; apply h; rewrite heq.
Qed.