“是怎么回事？”；少于；为Coq中的实数定义？

我只是想知道实数的“小于”关系是如何定义的

我知道对于自然数（

nat

），

Coq.Reals.RIneq认为Rplus\u 0\u r:forall r，r+0=r。这是一条公理

吹毛求疵：
Rplus\u 0\r
不是公理，但
Rplus\u 0\l
是公理。您可以在模块中获得它们的列表以及在中使用的参数列表

正如你所看到的，“大于（或等于）”和“小于或等于”都是根据“小于”来定义的，这是假设的，而不是使用你建议的命题来引入的

看起来，
Rlt
确实可以按照您建议的方式定义：这两个命题可以证明是等价的，如下所示

Require Import Reals.
Require Import Psatz.
Open Scope R_scope.

Goal forall (r1 r2 : R), r1 < r2 <-> exists s, s > 0 /\ r1 + s = r2.
Proof.
intros r1 r2; split.
 - intros H; exists (r2 - r1); split; [lra | ring].
 - intros [s [s_pos eq]]; lra.
Qed.

需要导入real。
需要导入Psatz。
打开范围R\u范围。
所有目标（r1 r2:R），r10/\r1+s=r2。
证明。
介绍r1-r2；分裂
-介绍H；存在（r2-r1）；分裂[lra |环]。
-介绍[s[s_pos eq]；上帝军。
Qed。

然而，您仍然需要定义“严格正”的含义，以使
s>0
位有意义，并且根本不清楚您最终的公理会更少（例如，严格正的概念应该在加法、乘法等下关闭）。
事实上，真正的库有点弱，因为它完全被指定为公理，在过去的一些（简短的）点上它甚至是不一致的

因此，le的定义有点“特别”，从系统的角度来看，它没有计算意义，只是一个常数和一些公理。您可以添加公理“x
值得指出的是，对于Coq，REAL的一些替代结构：

我最喜欢的经典结构是Georges Gonthier和B.Werner在四色定理中所做的：

它只使用排除中间公理（主要用于比较实数），因此其一致性的置信度非常高

最著名的REAL的无公理描述是C-CORN项目，但我们知道构造性分析与通常的分析有很大不同

Require Import Reals.
Require Import Psatz.
Open Scope R_scope.

Goal forall (r1 r2 : R), r1 < r2 <-> exists s, s > 0 /\ r1 + s = r2.
Proof.
intros r1 r2; split.
 - intros H; exists (r2 - r1); split; [lra | ring].
 - intros [s [s_pos eq]]; lra.
Qed.