计算小参数x（~10^-12）的1-sqrt（x），类似于expm1（在C/C++中）

我认为expm1函数适用于计算小x的1-expx，而不会因双精度约15位处截断1.0而损失精度。1-sqrtx有这样的函数吗？目前，我只是使用一个非常大的泰勒展开式，因为我需要尽可能多的精度数字，最好是所有的精度数字，因为double/long double可以提供

编辑：我严重混淆了我的意图：我希望计算10^-12和1之间的任意位置的x的1-sqrt1-x

expm1函数适用于计算1-expx

如图所示：

对于较小的x值，expm1可能比expx-1更精确

1-sqrtx有这样的函数吗

不，至少不在标准标题中

expm1函数适用于计算1-expx

如图所示：

对于较小的x值，expm1可能比expx-1更精确

1-sqrtx有这样的函数吗

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不，至少不在标准标题中。

这里的问题似乎动机不好。当x为0时，expx收敛到1，这意味着给定相同的浮点精度，对于小x，expx-1的有效数字比expx的有效数字多，但对于sqrtx，情况并非如此，它在x为0时收敛到0。换句话说，对于小x，expx-1可以比expx精确一点点，但对于1-sqrtx，情况并非如此-事实上，这会变得更糟，因为你将它从接近0 1e-6的值带到接近1 0.99999的值

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另一方面，如果您希望计算非常小的x的sqrt1+x，作为非常接近x=1的sqrtx的精确度量，那么sqrt1+x-1将是更精确的浮点计算。它的泰勒级数将非常有效；我发现，对于| x |<1e-9，x/2-x^2/8+x^3/16是sqrt1+x-1的一个很好的近似值，在3e-29的RMS分数误差范围内，边上的最大值为8e-29，是双精度的两倍。即使是二次近似也可能足够好，精度大约为20位

这里的问题似乎动机不好。当x为0时，expx收敛到1，这意味着给定相同的浮点精度，对于小x，expx-1的有效数字比expx的有效数字多，但对于sqrtx，情况并非如此，它在x为0时收敛到0。换句话说，对于小x，expx-1可以比expx精确一点点，但对于1-sqrtx，情况并非如此-事实上，这会变得更糟，因为你将它从接近0 1e-6的值带到接近1 0.99999的值

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另一方面，如果您希望计算非常小的x的sqrt1+x，作为非常接近x=1的sqrtx的精确度量，那么sqrt1+x-1将是更精确的浮点计算。它的泰勒级数将非常有效；我发现，对于| x |<1e-9，x/2-x^2/8+x^3/16是sqrt1+x-1的一个很好的近似值，在3e-29的RMS分数误差范围内，边上的最大值为8e-29，是双精度的两倍。即使是二次近似也可能足够好，大约有20位精度

用于计算1-expx。。。然后你倒过来读：这是为了计算expx-1A，搜索SO会帮助你：double FoooDouble x{return 1-sqrtx；}怎么不足以满足你对小x的需求？@duffymo-那可能是因为我错提了这个问题。我是说1-sqrt1-x。我应该重新发布这个问题还是编辑这个问题？@zjw518一些库提供了一个函数sqrt1pm1来计算sqrtx+1-1，这应该适合您的目的，因为1-sqrt1-x=-sqrt1pm1-x。您可以自己创建一个合理的实现：double-sqrt1pm1 double a{returna/1.0+sqrt a+1.0；}用于计算1-expx。。。然后你倒过来读：这是为了计算expx-1A，搜索SO会帮助你：double FoooDouble x{return 1-sqrtx；}怎么不足以满足你对小x的需求？@duffymo-那可能是因为我错提了这个问题。我是说1-sqrt1-x。我应该重新发布这个问题还是编辑这个问题？@zjw518一些库提供了一个函数sqrt1pm1来计算sqrtx+1-1，这应该适合您的目的，因为1-sqrt1-x=-sqrt1pm1-x。您可以自己创建一个合理的实现：double sqrt1pm1 double a{return a/1.0+sqrt a+1.0；}或者，您可以使用x/sqrt1+x+1，它在代数上等同于sqrt1+x-1，但没有小x的取消工件。您是正确的，@jwimberley，我的意思是1-sqrt1-x。我的目的是要有一个函数，它适用于小到10^-12到1的x。在阅读了关于expm1的文章后，我把自己弄糊涂了，但我在这个问题的措辞上做得很糟糕。为了安全起见，我目前在扩展中有大约20个术语，因此我可以在x~.01处切换到使用sqrt-如果有一个函数封装这个术语，当然速度更快，那就太好了。虽然爸爸

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尼尔的建议看起来很有希望。你可以根据你的目的修改我们的建议@DanielSchepler的可能更好：按照这个顺序计算-x/1+sqrt1-x。这等于x*1-sqrt1-x/1-1-x=1-sqrt1-x，但不依赖于取消来实现准确性。在上面的注释中，我的-x是一个打字错误，你可以使用x/sqrt1+x+1，它在代数上等同于sqrt1+x-1，但没有小x的取消工件。你是对的，@jwimberley，我的意思是1-sqrt1-x。我的目的是要有一个函数，它适用于小到10^-12到1的x。在阅读了关于expm1的文章后，我把自己弄糊涂了，但我在这个问题的措辞上做得很糟糕。为了安全起见，我目前在扩展中有大约20个术语，因此我可以在x~.01处切换到使用sqrt-如果有一个函数封装这个术语，当然速度更快，那就太好了。虽然丹尼尔的建议看起来很有希望。你可以根据你的目的修改我们的任何一个建议@DanielSchepler的可能更好：按照这个顺序计算-x/1+sqrt1-x。这等于x*1-sqrt1-x/1-1-x=1-sqrt1-x，但不依赖于取消来实现准确性。在上面的注释中，My-x输入了一个错误注释，即1-expx=-expm1x，因此expm1实际上非常适合此计算。您指出：这是另一种方式，我认为这与expm1是矛盾的。。适合于计算1-expx。我熟悉的问题是：不建议在第一杯咖啡之前发布：-注意1-expx=-expm1x，因此expm1实际上非常适合于此计算。您说过：这是另一种方式，我认为这与expm1是矛盾的。。适合计算1-expx。我熟悉的问题是：不建议在第一杯咖啡之前发布：-