C++ 如何求解异或方程组？

我必须解一个由32个异或方程组成的系统，每个方程包含32个变量中的15个。 一个是这样的：

i[0] = p[0] ^ p[4] ^ p[5] ^ p[10] ^ p[11] ^ p[20] ^ p[21] ^ p[22] ^ p[23] ^ p[25] ^ p[26] ^ p[27] ^ p[28] ^ p[30] ^ p[31]

[a b; c d] -> [a b; 0 d-(b*c/a)] -> [a 0; 0 d-(b*c/a)] -> [1 0; 0 1]

i[n]

和

p[n]

是16位整数

因此，据我所知，我最终将得到一个32x32矩阵（只包含1和0）和一个32结果向量

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显然，高斯消去法是我所需要的，但我无法集中精力解决这个问题，有人能告诉我如何解决这个问题吗？

是的，你可以用高斯消去法来解决这个问题。关键是要认识到异或运算等价于模2的加法。所以你写的等式等于

i[0] = (p[0] + p[4] + ... ) mod 2

然后可以将整个系统设置为矩阵方程

M*p=i mod 2

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您可以像往常一样使用高斯消去法来解决这个问题，除非您的所有操作都将以模2执行。因为你的矩阵包含很多0，所以你必须使用旋转，但除此之外，算法是相同的。

如果你熟悉求解正则方程组，这并不是一个很大的进步。在方程组中使用实数时，您可以这样做：

i[0] = p[0] ^ p[4] ^ p[5] ^ p[10] ^ p[11] ^ p[20] ^ p[21] ^ p[22] ^ p[23] ^ p[25] ^ p[26] ^ p[27] ^ p[28] ^ p[30] ^ p[31]

[a b; c d] -> [a b; 0 d-(b*c/a)] -> [a 0; 0 d-(b*c/a)] -> [1 0; 0 1]

注意：这里我使用MATLAB矩阵表示法，以便于输入

重要的是，所有这些矩阵运算（即除法、乘法、加法和减法）都适用于任何字段，而不仅仅是实数。如果您不熟悉术语字段，它只是指允许乘法、求反、求逆、加法等的一组值

这就带我们去解xor方程组。您当前将系统描述为一组16位值异或在一起。然而，我选择了将其表示为一组位异或的方式，例如，如果您的第一个等式是：

p[0] = a[1] ^ a[2]

我将其表述为：

p[0][0] = a[1][0] ^ a[2][0]
p[0][1] = a[1][1] ^ a[2][1]
…

其中，第二组括号表示16位值中的

位

偏移量。所以，你们的每一个小方程都相当于16个方程

布尔型上的单位异或运算形成一个字段。在这个字段中，我们将“加法”操作符等价于xor。我们可以如下定义加法表和乘法表：

1 + 0 = 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 0 + 0 = 0
1 * 0 = 0 * 1 = 0 * 0 = 0; 1 * 1 = 1

除法只能被1除（因为不能被零除），因此除法运算符保留元素不变

有了这个，你应该能够为你的xor方程组建立一个矩阵。该矩阵将完全由1和0组成。然后使用gauss-jordan消去算法（其实并不难实现），就像对普通实数一样。这将允许您反转矩阵并找到解决方案

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我个人对这个问题很感兴趣，我写了一个小的C++矩阵实现，允许你提供任何你喜欢的字段。这可能是一个很好的起点，或者您甚至可能希望完全使用我的代码！以下是Github上的源代码：。我特别建议查看ANMatrix上的invert（）方法。

我发现您的问题不清楚。而不是“…（15 xor）”显示一个完整的示例。您将得到32个16位数字，或者（逻辑上）一个32x16矩阵。你是如何得到32x32的？给出了什么，你想解决什么？我编辑并添加了一个完整的例子。我想求解p[0..31]，给出了I[0..31]。我认为32 x32是因为我有32个方程组成的p（0…31）系数为0或1。谢谢你的解释，但我想出了一个方法来做C++，我会把我的代码添加到岗位上的人可能需要它：）谢谢我所需要的是提醒XOR是一个附加的MOD 2！