Algorithm 将运行时间减少到O（n）

我向HW提出了这个问题，但我不知道该怎么做：
数组A[1…n]包含0到n之间的所有整数，只有一个除外。数组未排序。
在这个问题中，我们无法通过一次操作访问一个完整的整数。
A的元素用二进制表示，我们可以用来访问它们的唯一操作是“获取A[i]的第j位”，这需要恒定的时间

我必须在O（n）时间内找到丢失的整数

完成这项工作所需的时间通常为O（NlgN） （在N数组上运行，并获取N-lgn位函数的所有位）

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在不读取所有位的情况下，我怎么做呢？

现在让我们假设，对于某些k，n是2^k-1

让我们再看一个例子，其中k=3

000
001
010
011
100
101
110
111

您会注意到，当有一个完整的集合时，如上图所示，每个列（每个数字的位置）都有相同数量的1和0。当然，为了方便起见，我们将其显示为排序，但实际上，我并不是说它是排序的

让我们看看下面的列表

000
001
010
011
100
110
111

我们查看所有元素的第一位（O（n））并找出哪个计数小于另一个

我们看到，对于第一位，有一个数字缺失了最高有效位中的1。这意味着我们知道我们的数字在其最重要的位上有一个1

基本上，我们划分为两个集合，一个最高有效位为1，另一个最高有效位为0。较小的一组显示丢失的数字有多少位

我们在较小的分区上做同样的事情

因为它是O（n）+O（n/2）+O（n/4）。。。基本上是O（2n），也就是O（n）

编辑

有关一般情况，请参阅

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基本上，它涉及到利用这样一个事实，当n不是2的幂时，你可以考虑这样一个事实，给定n，你确切地知道有多少应该属于bit=1分区和bit=0分区，如果这是一个完整的集合。

现在让我们假设对于某些k，n是2^k-1

让我们再看一个例子，其中k=3

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您会注意到，当有一个完整的集合时，如上图所示，每个列（每个数字的位置）都有相同数量的1和0。当然，为了方便起见，我们将其显示为排序，但实际上，我并不是说它是排序的

让我们看看下面的列表

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我们查看所有元素的第一位（O（n））并找出哪个计数小于另一个

我们看到，对于第一位，有一个数字缺失了最高有效位中的1。这意味着我们知道我们的数字在其最重要的位上有一个1

基本上，我们划分为两个集合，一个最高有效位为1，另一个最高有效位为0。较小的一组显示丢失的数字有多少位

我们在较小的分区上做同样的事情

因为它是O（n）+O（n/2）+O（n/4）。。。基本上是O（2n），也就是O（n）

编辑

有关一般情况，请参阅

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基本上，它涉及到利用这样一个事实，当n不是2的幂时，你可以考虑这样一个事实，即给定n，你确切地知道有多少应该属于bit=1分区和bit=0分区，如果这是一个完整的集合。

还有其他属性吗？例如，数组中的数字是否已排序？否则，每一点至少看一次是不可能的。另外，请发布你现在的解决方案。提示：分而治之。显然，开始时需要检查所有数字中的一些位，但完成后是否有必要再次检查所有数字中的下一位？@Jon这对随机排列的数组有何帮助？@Jon不，提示有助于理解。你提供的是一个纯粹的陈词滥调。还有其他属性吗？例如，数组中的数字是否已排序？否则，每一点至少看一次是不可能的。另外，请发布你现在的解决方案。提示：分而治之。显然，开始时需要检查所有数字中的一些位，但完成后是否有必要再次检查所有数字中的下一位？@Jon这对随机排列的数组有何帮助？@Jon不，提示有助于理解。你提供的是一个纯粹的陈词滥调。我认为这是行不通的。您的算法有效，但仅当您拥有所有3位单词时。只需取n=6（即7个元素），并将缺少的元素设为0。然后，您甚至可以在每个步骤中获得相同数量的0和1。所以你必须看每一点。这就是为什么我认为如果没有一开始的假设（问题中没有给出），一般的分而治之的方法是行不通的。是的。你说得对。但是如果你注意到了，我提到了我最初的假设，元素的数量是2减去1的幂。我将很快调整我的解决方案以解决这个问题。我正在复习笔记，我想这行不通。您的算法有效，但仅当您拥有所有3位单词时。只需取n=6（即7个元素），并将缺少的元素设为0。然后，您甚至可以在每个步骤中获得相同数量的0和1。所以你必须看每一点。这就是为什么我认为如果没有一开始的假设（问题中没有给出），一般的分而治之的方法是行不通的。是的。你说得对。但是如果你注意到了，我提到了我最初的假设，元素的数量是2减去1的幂。我将很快调整我的解决方案以解决这个问题。我正在复习我的笔记。