C++ 使用浮动进行最精确的直线交点纵坐标计算？

我在计算一条直线上某点在给定横坐标x处的纵坐标y。该线由其两个端点坐标（x0，y0）（x1，y1）定义。端点坐标是浮点，计算必须以浮点精度进行，以便在GPU中使用

数学，以及由此产生的天真的实现，都是微不足道的

设t=（x-x0）/（x1-x0），则y=（1-t）*y0+t*y1=y0+t*（y1-y0）

问题是当x1-x0很小时。结果将引入取消错误。当与x-x0中的一个相结合时，在除法中，我预计t中会有一个显著的误差

问题是，是否存在另一种更精确地确定y的方法

i、 我应该先计算（x-x0）*（y1-y0），然后再除以（x1-x0）吗

---

y1-y0之间的差异总是很大的。

如果有可能，可以在计算中引入两种情况，具体取决于abs（x1-x0） 编辑。另一种可能是使用二分法搜索的变体逐点获得结果。这将较慢，但在极端情况下可能会改善结果

// Input is X
xmin = min(x0,x1);
xmax = max(x0,x1);
ymin = min(y0,y1);
ymax = max(y0,y1);
for (int i=0;i<20;i++) // get 20 bits in result
{
  xmid = (xmin+xmax)*0.5;
  ymid = (ymin+ymax)*0.5;
  if ( x < xmid ) { xmax = xmid; ymax = ymid; } // first half
  else { xmin = xmid; ymin = ymid; } // second half
}
// Output is some value in [ymin,ymax]
Y = ymin;

//输入是X
xmin=min（x0，x1）；
xmax=max（x0，x1）；
ymin=min（y0，y1）；
ymax=最大值（y0，y1）；
对于（inti=0；i，如果源数据已经是一个浮点值，那么就已经存在基本的不精确性

为了进一步解释，想象一下如果你以图形的方式来做这件事，你有一张二维的图表纸，上面有两个点

案例1：这些点非常精确，并用非常锋利的铅笔标记。很容易画出连接它们的线，然后在给定x的情况下很容易得到y（反之亦然）

案例2：这些点用一支大而粗的毛毡尖笔标记，就像宾果标记一样。很明显，你画的线不太准确。你穿过这些点的中心吗？上边缘？下边缘？一个点的顶部，另一个点的底部？显然有许多不同的选择。如果两个点彼此靠近，那么变化会发生我会更伟大

由于浮点数表示数字的方式，浮点数本身具有一定程度的不精确性，因此浮点数与情况2的对应程度大于情况1（有人可能认为这相当于使用任意精度的librray）世界上没有任何算法可以弥补这一点。不精确的数据输入，不精确的数据输出检查x0和x1之间的距离是否很小，即fabs（x1-x0）在很大程度上，你的根本问题是根本的。当（x1-x0）是小的，这意味着在x1和x0的尾数中只有几个不同的位。并且，通过扩展，x0和x1之间只有有限的浮点数。例如，如果尾数中只有较低的4位不同，则它们之间最多有14个值

在您的最佳算法中，
t
项表示这些低位。继续或举例来说，如果x0和x1相差4位，那么t也只能取16个值。这些可能值的计算相当稳健。无论您是在计算3E0/14E0还是3E-12/14E-12，结果都将接近数学值e 2014年3月3日

您的公式还有一个额外的优点，就是y0计算如下：

t = sign * power2 ( sqrt (abs(x - x0))/ sqrt (abs(x1 - x0)))

其想法是使用一个数学等效公式，其中low（x1-x0）的影响较小。
（不确定我写的是否符合这个标准）
我已经实现了一个基准程序来比较不同表达式的效果

我使用双精度计算y，然后使用不同表达式使用单精度计算y

下面是测试的表达式：

inline double getYDbl( double x, double x0, double y0, double x1, double y1 )
{
    double const t = (x - x0)/(x1 - x0);
    return y0 + t*(y1 - y0);
} 

inline float getYFlt1( float x, float x0, float y0, float x1, float y1 )
{
    double const t = (x - x0)/(x1 - x0);
    return y0 + t*(y1 - y0);
} 

inline float getYFlt2( float x, float x0, float y0, float x1, float y1 )
{
    double const t = (x - x0)*(y1 - y0);
    return y0 + t/(x1 - x0);
} 

inline float getYFlt3( float x, float x0, float y0, float x1, float y1 )
{
    double const t = (y1 - y0)/(x1 - x0);
    return y0 + t*(x - x0);
} 

inline float getYFlt4( float x, float x0, float y0, float x1, float y1 )
{
    double const t = (x1 - x0)/(y1 - y0);
    return y0 + (x - x0)/t;
} 

我计算了双精度结果和单精度结果之间差异的平均值和STDEV

结果是，平均1000和10K以上的随机值集都没有。我使用了icc编译器，包括优化和未优化以及g++

请注意，我必须使用isnan（）函数来过滤虚假的值。我怀疑这些值是由差分或除法中的下溢造成的

我不知道编译器是否重新排列了表达式

无论如何，从这个测试中得出的结论是，上述表达式的重新排列对计算精度没有影响。误差保持不变（平均）。
您可以看看Qt的“QLine”（如果我记得正确的话）源；他们实现了一个从一个“Graphics Gems”书籍（参考资料必须在代码注释中，这本书是几年前在EDonkey上出版的），这本书反过来又保证了当以给定的位宽度执行计算时，对给定屏幕分辨率的适用性（如果我没有错的话，他们使用定点算术）.
正如MSalters所说，问题已经存在于原始数据中

插值/外推需要斜率，该斜率在给定条件下的精度已经很低（对于远离原点的非常短的线段最差）

我的直觉是，不同的评估顺序不会改变事情，因为误差是由减法引入的，而不是由除法引入的


想法：

如果生成线时有更精确的数据，可以将表示形式从（（x0，y0），（x1，y1））更改为（x0，y0，角度，长度）。可以存储角度或坡度，坡度有极点，但角度需要trig函数…丑陋

当然，如果你经常需要终点，而且你有太多的线，你不能