C++ 如何实现Matlab'；s mldivide（也称为反斜杠运算符“\”）

我目前正在尝试开发一个小型的面向矩阵的数学库（用于矩阵数据结构和运算），我想实现一些方便的Matlab函数，例如广泛使用的反斜杠运算符（相当于），以便计算线性系统的解（以矩阵形式表示）

对于如何实现这一点，是否有详细的解释？（我已经用经典SVD分解实现了Moore-Penrose伪逆函数，但我在某个地方读到，

a\b

并不总是

pinv（a）*b

，至少Matalb不只是这样做）

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感谢对于

x=A\b

，运算符包含许多用于处理不同类型输入矩阵的函数。因此，诊断矩阵

A

，并根据其特征选择执行路径

当

A

是完整矩阵时，以下内容在伪代码中描述：

if size(A,1) == size(A,2)         % A is square
    if isequal(A,tril(A))         % A is lower triangular
        x = A \ b;                % This is a simple forward substitution on b
    elseif isequal(A,triu(A))     % A is upper triangular
        x = A \ b;                % This is a simple backward substitution on b
    else
        if isequal(A,A')          % A is symmetric
            [R,p] = chol(A);
            if (p == 0)           % A is symmetric positive definite
                x = R \ (R' \ b); % a forward and a backward substitution
                return
            end
        end
        [L,U,P] = lu(A);          % general, square A
        x = U \ (L \ (P*b));      % a forward and a backward substitution
    end
else                              % A is rectangular
    [Q,R] = qr(A);
    x = R \ (Q' * b);
end

对于非平方矩阵，使用。对于正方形三角形矩阵，它执行简单的运算。对于平方对称正定矩阵，使用。否则用于一般平方矩阵

更新：MathWorks已经在

mldivide

的文档页面中用一些漂亮的流程图更新了。请参见和（完整和稀疏案例）

所有这些算法在中都有相应的方法，事实上，这可能是MATLAB正在做的事情（请注意，最新版本的MATLAB附带了优化的实现）

采用不同方法的原因是，它试图使用最具体的算法来求解方程组，该算法利用系数矩阵的所有特征（因为它会更快或更稳定）。因此，您当然可以使用通用解算器，但它不是最有效的

事实上，如果您事先知道

A

是什么样子，您可以通过直接调用和指定选项跳过额外的测试过程

如果

A

为矩形或单数，还可以使用来找到最小范数最小二乘解（使用以下方法实现）：

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所有这些都适用于密集矩阵，稀疏矩阵则完全不同。通常在这种情况下使用。我相信MATLAB使用SuiteCase包中的其他相关库来直接求解

使用稀疏矩阵时，您可以打开诊断信息，并查看使用以下方法执行的测试和选择的算法：

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更重要的是，反斜杠操作符也适用于的，在这种情况下，它依赖于GPU并在GPU上执行

它还可以在分布式计算环境中实现（工作在计算机集群中分配，其中每个工作人员只有阵列的一部分，可能整个矩阵不能一次存储在内存中）。底层实现正在使用

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如果你想自己实现所有这些，这是一个相当高的要求：）

这并不简单，我强烈建议不要尝试。只需将其连接到LAPACK的DGEMV。很多聪明人花了很多时间微调

mldivide

。类似的问题：表明矩形的QR方法是拉帕克DGEL。谢谢你，阿姆罗，这是一个非常有建设性的回答。“A”很可能是非方矩阵，因此，如果我理解正确，最适合使用的方法是QR分解。是的，我愿意（至少尝试）实现所需的功能，以创建一个自包含的库，因此我真的不想使用其他数学软件包（目前，算法的效率不是我的主要目标；）。这是一个个人项目，目前还不严重…@M4XMX：是的，你可以使用QR分解：

Ax=b-->QRx=b-->Rx=Q'b-->x=R\（Q'b）

（最后一步是简单的反向替换过程）。请参阅以获取解释。这里还有一个相关的例子，展示了如何使用各种库求解Ax=b的问题：GSL、Armadillo、Eigen。不需要重新发明轮子：）我认为MATLAB也可以用来提高数值精度。也就是说，分解是：

AP=QR

其中

P

是一个置换矩阵多么漂亮的答案。我一直想知道“使用”了什么算法1.@tommsch我们使用

A'

的QR分解，并求解

（QR）*x=b

：

x = pinv(A)*b

spparms('spumoni',2)
x = A\b;