C++ 求协方差矩阵的特征向量生成三维边界球

我目前正在编写一个函数，为三维空间中的一组点找到一个“精确”的边界球体。到目前为止，我想我对这个过程有一个很好的理解，但我被卡住了

以下是我的工作内容： A） 三维空间中的点 B） 存储在4x4矩阵类中的3x3协方差矩阵（由单元格m0、m1、m2、m3、m4等引用，而不是行和列）

我已经找到了点的协方差矩阵的3个特征值，并且我已经建立了一个函数，通过高斯消去法将矩阵转换为缩减行梯队形式（rref）

我已经根据我在网上找到的示例中的数字测试了这两个函数，它们似乎工作正常

下一步是使用以下等式找到特征向量： （M-λ*I）*V

。。。其中M是协方差矩阵，λ是特征值之一，I是单位矩阵，V是特征向量

然而，我似乎没有在重新计算4x3矩阵之前正确地构造它，因为在运行rref之前和之后，应该计算特征向量分量的最右列为0。我理解为什么它们在后面是零（没有任何常数，线性方程组的最简单解就是所有系数都是零），但我不知道该放在那里什么

以下是迄今为止的功能：

Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eval) { Matrix A = Matrix(M); A -= Matrix(IDENTITY)*eval; A.rref(); return Vect(A[m3],A[m7],A[m11]); } 向量特征向量（常数矩阵和M，常数浮点值）{ 矩阵A=矩阵（M）； A-=矩阵（恒等式）*eval； A.rref（）； 返回向量（A[m3]，A[m7]，A[m11]）； } 3x3协方差矩阵作为M传递，特征值作为eval传递。矩阵（标识）返回标识矩阵。m3、m7和m11对应于4x3矩阵的最右列

下面是我用来测试函数的示例3x3矩阵（存储在4x4矩阵类中）：

Matrix(1.5f, 0.5f, 0.75f, 0, 0.5f, 0.5f, 0.25f, 0, 0.75f, 0.25f, 0.5f, 0, 0, 0, 0, 0); 矩阵（1.5f，0.5f，0.75f，0， 0.5f，0.5f，0.25f，0， 0.75f，0.25f，0.5f，0， 0, 0, 0, 0); 我从另一个函数中得到了2.097，0.3055，0.09756的特征值

上面的特征向量（）正确地从对角线（0,0 1,1 2,2）减去传递的特征值

rref（）后的矩阵A：

[(1, 0, 0, -0), (-0, 1, 0, -0), (-0, -0, 1, -0), (0, 0, 0, -2.09694)] 对于rref（）函数，我使用的是一个经过翻译的python函数，可以在这里找到：

我传递给rref（）的矩阵应该是什么样子才能得到特征向量

（M-λI）V不是一个方程，它只是一个表达式。然而，（M-λI）V=0是。这个方程把特征向量和特征值联系起来

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因此，假设您的

rref

函数起作用，我会设想您创建一个扩充矩阵作为

[（M-&lambda；I）| 0]

，其中

0

表示零向量。这听起来像你已经在做的事情，所以我不得不假设你的

rref

函数坏了。或者，它不知道如何处理4x4矩阵（与4x3矩阵相反，这是它对增强矩阵的期望）。

啊，经过几个小时的艰苦研究，我终于解决了我的问题

问题在于，没有“一”组特征向量，而是一个具有不同量级的无穷多个特征向量

我选择的方法是使用REF（行梯队形式）而不是RREF，在矩阵中留下足够的信息，让我可以用任意值替换z，然后反向求解y和x。然后，我对向量进行归一化，得到一个单位特征向量，这应该适用于我的目的

我的最终代码：

Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eVal) { Matrix A = Matrix(M); A -= Matrix(IDENTITY)*eVal; A.ref(); float K = 16; // Arbitrary value float J = -K*A[m6]; // Substitute in K to find J float I = -K*A[m2]-J*A[m1]; // Substitute in K and J to find I Vect eVec = Vect(I,J,K); eVec.norm(); // Normalize eigenvector return eVec; } 向量特征向量（常数矩阵和M，常数浮点值）{ 矩阵A=矩阵（M）； A-=矩阵（恒等式）*eVal； A.ref（）； 浮点K=16；//任意值 float J=-K*A[m6]；//在K中替换以找到J float I=-K*A[m2]-J*A[m1]；//用K和J代入I Vect-eVec=Vect（I，J，K）； eVec.norm（）；//规范化特征向量 返回eVec； }

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唯一奇怪的是，特征向量出现的方向与我预期的相反（它们被否定了！），但这是一个没有实际意义的问题。

这也是我的想法，我花了相当长的时间尝试不同的变化。实际上，我认为，这是一个解线性方程组的无限解。在我得到有意义的结果之前，我必须先向系统抛出一个任意的值。看看下面我的答案，我最终做了什么。不过，感谢您抽出时间帮忙：） Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eVal) { Matrix A = Matrix(M); A -= Matrix(IDENTITY)*eVal; A.ref(); float K = 16; // Arbitrary value float J = -K*A[m6]; // Substitute in K to find J float I = -K*A[m2]-J*A[m1]; // Substitute in K and J to find I Vect eVec = Vect(I,J,K); eVec.norm(); // Normalize eigenvector return eVec; }