Math 如何计算三维三次Bé上点的法线；zier曲线的起点和终点是否给定法线？

我试图用一条三维三次贝塞尔曲线来描述一个“3D色带”（色带的宽度是恒定的）。第一个和最后一个控制点有一个与之相关联的法向量（始终垂直于这些点的切线，并描述这些点处功能区的曲面法向量），我正在尝试在曲线过程中平滑插值法向量

例如，给定一条形成字母“C”的曲线，第一个和最后一个控制点的曲面法线均朝上，功能区应从平坦开始，平行于地面，缓慢转动，然后再次平坦结束，朝向与第一个控制点相同的方向。要做到这一点“顺利”，它必须在曲线的中间朝外。目前（对于这种情况），我只能使所有的表面面向上（而不是在中间向外），这在中间造成了一个丑陋的转变。 这很难解释，我在下面附上了这个例子的一些图片，上面有它当前的样子（所有表面朝上，中间有锐利的翻转）和它应该是什么样子（平滑过渡，表面慢慢旋转）。银色的脸代表正面，黑色的脸代表背面

不正确，它当前的样子是：

正确，它应该是什么样子：

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我真正需要的是能够计算出3D三次bézier曲线上任意点的“混合法向量”，我可以生成多边形，没有问题，但我不知道如何让它们平滑地旋转，如图所示。完全不知道如何继续

您可以使用第一部分中介绍的算法，在t=0（或固定的t，以您选择的为准）时计算法线将为您提供平滑过渡

像这样：

（想象你沿着蓝红色边界的人行道）

编辑

好的，这是我通过另一种方式得到的：

程序很简单：

具有参数化功能：

f[t] := { x[t], y[t], z[t] }  

通过求导数计算切线向量：

f'[t] := { x'[t], y'[t], z'[t] }  

选择起点（和终点法向量），例如：

n[0] = {0, 0, 1};

现在将另一个函数定义为导数和法线的向量积：

cp[t_] := CrossProduct[f'[t], n[0]];  

就这样

我的四边形的要点在于：

 {f[t] - cp[t]/3, 
  f[t] + cp[t]/3, 
  f[t + dt] + cp[t + dt]/3, 
  f[t + dt] - cp[t + dt]/3}  

其中dt是您喜欢的增量

一种更复杂的方法可以解释曲线路径长度，但我想这是该算法的第二次迭代

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嗯

这张图片似乎描述了我所追求的，但我很难理解所使用的方程式。具体来说，我主要只熟悉C类语言。。。“我想你不能再解释一点方程式了吗？”罗伯特：没问题，但我不想写一本书。这些是数学函数。如果你让我知道你的麻烦在哪里，我可以试着帮你！好吧，我有点理解你的数学函数——我对你的圆方程感到困惑。那么，我认为所提到的正交平面或多或少是我需要计算的，对吗？平面的表面法线（在某个位置t）是我要计算的同一个向量吗？我手头有贝齐尔方程的参数方程，并且计算了它们的导数来求切线，所以也许明天我不累的时候，我会尝试将它们付诸实践。同时，谢谢你的帮助@罗伯特：你写的都是对的。看来你的道路是对的。请注意，这些圆实际上给出了两个方程（带+/-Sqrt[]），蓝/红线在这些解之间，最好将其设置为参数，以便通过路径确定角度。@belisarius感谢到目前为止的所有帮助，但我仍然感到困惑。。。我已经看过这些方程了，但是我怎么计算圆方程呢？（使用一些绘图软件，我只能得到恰好被平面平分的球体。）在我得到圆的方程后，我如何计算我所追求的法线？供参考：和：