Math 形式T（n-i）+f（n）的递推解法

我已经在一个习题集上工作了一段时间，我似乎已经掌握了递归示例的主要方法。然而，我发现自己在使用其他方法时遇到了困难，例如递归树、替换。这是我一直想问的问题：Tn=Tn-2+n^2是否有如下模式？n^2+Tn-2+Tn-4+。。。直到不再有n为止。大约是n/2倍，这意味着n^2+n-2^2+n-i^2，渐近界是θ^2吗

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老实说，我是在暗中摸索，所以我希望有人能帮助我解决这些问题。也许不是对这个问题的直接回答，而是一个关于我应该从哪里开始的提示是最好的。

正如你所说，结果将是n^2+n-2^2+n-4^2+

直觉上你可以感觉到，因为在和中有很多n/2元素，它将比^2上的元素更多-与1+2+3+…+的方式相同n不仅仅是On

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证明这一点的一种方法是，你可以用所有平方数之和的一半来近似求和，其中有一个。所以它是θ^3。

下面是如何将总和转化为结果

n^2 + (n-2)^2 + ... + (n -2i) + ...

= {just writing in a different way}

(2n/2) + (2n/2 - 2)^2 + ... + (2n/2 -2i)^2 + ...

= {write m = n/2}

(2m)^2 + (2m-2)^2 + ... (2m - 2i)^2 + ...

= 4 ( m^2 + (m-1)^2 + ... (m-i)^2 ...)

= 4 ( sum (k^2) from k=1 to m)

= 4 ( sum (k^2) from k=1 to n/2)

= (n^3 + 3n^2 + 2n)/6

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使用

@MrE，我在Tn-2方面遇到了问题，我可以做那些满足主方法要求的，比如Tn/2+FnI，我现在正在看平方和，Sumfrom k=0。。。n k^2=nn+12n+1/6。我可以看出这可以归结为^3。但我不明白你是怎么得出结论的，它归结为平方和？对不起，这方面的研究不是我的专长，你是不是忽略了常数，比如-2，-4，-i？得到sumk=1…n/2k^2？啊，是的，我读了那一页，现在我想我看到了。所以它是用所有平方数之和的一半来近似求和，因为我们有n^2+n-2^2+n-4^2。。。而不是n^2+n-1^2。。。这就是得到θ^3的SS公式的地方。是的，偶数的平方和，例如：4^2+2^2比赔率3^2+1^2的平方和大，但是如果你在方程中再加一个奇数5^2，那么和就会更大。因为总的和是θ^3，所以得到一半的和是一个足够好的近似值。