C++ 与迭代乘法相比，std:：pow（）的数值稳定性如何？

使用

std:：pow（）

会出现或解决什么样的稳定性问题

• 如果已知指数是整数，那么实现一个简单的函数来执行

  log（n）

  迭代乘法通常会更稳定（或者更快，或者完全不同）

• 就稳定性而言，

  std:：sqrt（x）

  如何与

  std:：pow（x，k/2）

  形式的东西进行比较？选择上面提到的方法，将其提高到整数次方，然后乘以平方根，这有意义吗？或者我应该假设

  std:：pow（）

  对于机器精度来说是快速和准确的吗？如果

  k=1

  ，与

  std:：sqrt（）

  是否有区别

• std:：pow（x，k/2）

  或上述方法在稳定性方面如何与

  std:：sqrt（x）

  的整数幂进行比较

作为奖励，速度差异可能是什么

如果已知指数为整数，则实现一个简单函数来执行对数（n）迭代乘法通常会更稳定（或更快，或完全不同）吗

整数指数的结果通常不如

pow

准确，但两者都是稳定的，因为接近的输入会产生接近的结果。通过平方运算，可以期望通过乘法引入0.5 ULP的相对误差（例如，将x3计算为

x*x*x

）而得到1 ULP的误差）

当静态地知道第二个参数n为2时，则无论如何将xn实现为

x*x

。在这种情况下，它比任何可能的替代方案都更快、更准确

在稳定性方面，std:：sqrt（x）如何与std:：pow（x，k/2）形式的东西进行比较

首先，

sqrt

的准确性对于ieee754实现来说是无与伦比的，因为

sqrt

是本标准要求尽可能精确的基本操作之一

但你不是在问

sqrt

，你是在问（我想）关于*sqrt（x）而不是

pow（x，n+0.5）

。同样，一般来说，对于

pow

的高质量实现，您可以期望

pow（x，n+0.5）

比备选方案更精确。虽然

sqrt（x）

将计算为0.5 ULP，但乘法引入了它自己的近似值，最高可达0.5 ULP，总之，最好通过对一个实现良好的函数的单个调用来获得您感兴趣的结果。

pow

的高质量实现将为其结果提供1 ULP的准确性，而最佳实现将“保证”0.5 ULP

作为奖励，速度差异可能是什么

---

如果您事先知道指数将是一个小整数或0.5的倍数，那么您就有了

pow

的实现者所没有的信息，因此您至少可以通过测试成本来击败他们，以确定第二个参数是一个小整数。此外，高质量实现的实现者的目标是获得比简单的平方求幂更准确的结果。另一方面，

pow

的实现者可以使用极其复杂的技术来最小化平均执行时间，尽管准确性更好：例如，参见。在谈论

pow

的最佳实现时，我将动词“保证”放在引号内，因为

pow

是CRlibm的0.5 ULP精度保证的一个功能。

你在问一个问题，哪些部分适合实验和分析。你的实验和分析结果如何？Pascal Cuoq的回答很好，但我要补充的是，许多传统的和流行的

pow

实现都非常糟糕。@tmyklebu，哪种？@trbabb我差点提到了这一点，但它只是让信息复杂化了。由于在Windows上对pow（10.0，2.0）的评估为除

100.0

以外的两倍（例如：），该网站上出现了许多令人困惑的问题。由于数学结果可以精确地表示为double

100.0

，这意味着

pow

函数犯下的错误超过1ULP。但是，即使你使用了一个拙劣的

pow

函数，它有时会出错，比如说1.5 ULP，它仍然比四次乘法更精确。@trbabb：我没有对它们进行分类，但我看到一台相当新的Linux机器的

pow

是垃圾。指向CRlibm的链接似乎坏了或者站点坏了？