C++ 递归函数的迷失证明

离散数学很有趣，但我在代数方面仍然有很多困难。我试图通过归纳法证明一个递归函数。我刚开始学习算法设计课程，任务是将迭代函数重写为递归函数，然后证明它。我能够实现递归函数，并且能够使用蛮力技术对其进行测试，但是我不知道如何建立我的证明。我认为我没有正确地启动它。我把我的开始和证据放在一起。谢谢你给我的建议

编辑#3感谢帮助完成最终校对

f (k + 1) – f(k) = 
(k + 1) ^2 – ½ (k + 1) (k + 1 – 1) – k^2 – ½ (k (k -1)) =
k^2 + 2k + 1 – ½ (k^2 – k) – k^2 + ½ (k^2 - k) =  
2k + 1 - k =
k + 1

编辑#2到目前为止，这是我的证明，我相信我离这还有很长的路要走

Base Case, n = 1
When n is 1, 1 is returned        Line 1
 1^2-(1*(1-1))/2 = 1
Inductive Case, n > 1
Assume for k = n-1, show for n = k
triangular_recursive(k) =
triangular_recursive (k -1) + k =        Line 1
(k – 1) ^2 – ½(k-1) (k-1-1) + k =      Inductive Assumption
k^2 -2k +1 – ½ (k^2 -3k +2) + k =
k^2 – k + 1 – ½ (k^2 -3k + 2)
This doesn’t see, correct at all.

下面是我的代码：

    /*
 JLawley
 proof_of_correctness1.cpp
 This provides a brute force proof of my algorithm

 Originally, everything was integer type.
 I changed to double when I added pow.
 */

#include "stdafx.h"
#include <iostream>

// this is the original function
// we were to rewrite this as a recursive function
// so the proof would be simpler
double triangular(double n) {
    auto result = 0;
    for (auto i = 1; i <= n; i++) result += i;
    return result;
}

/*
 * This is my recursive implementation
 * It includes base case and post case
 */

// n > 0
double triangular_recursive(double n) {
    return  (n == 1) ? n : triangular_recursive(n - 1) + n;
}
// returns n^2 - (n(n-1)) / 2

// utility method to test my theory by brute force
double test_my_theory(double n)
{
    return pow(n, 2) - (n * (n - 1))/2;
}

int main(void)
{
    // at values much beyond 4000, this loop fails
   // edit added - the failure is due to values too large
   // the program crashes when this occurs
   //  this is a drawback of using recursive functions
    for (auto i = 1; i <= 4000; i++) 
        if (test_my_theory(i) != triangular_recursive(i) || test_my_theory(i) != triangular(i)) 
            std::cout << "\n!= at i = " << i;
    // I am not getting any "i ="'s so I assume a good brute force test
    return 0;
}

/*
 * My proof so far:
Base Case, n = 1
When n is 1, 1 is returned        Line 1
 1^2-(1*(1-1))/2 = 1
Inductive Case, n > 1
Assume for k = n-1, show for n = k
triangular_recursive(k) =
triangular_recursive (k -1) + k =        Line 1
(k – 1) ^2 – ½(k-1)(k-1-1) + k =      Inductive Assumption
 */

/*
杰劳利
正确性证明1.cpp
这为我的算法提供了一个强力的证明
最初，一切都是整数类型。
当我加入战俘时，我变成了双倍。
*/
#包括“stdafx.h”
#包括
//这是原始函数
//我们将把它重写为一个递归函数
//所以证明会更简单
双三角形（双n）{
自动结果=0；
对于（自动i=1；i=0
双三角递归（双n）{
返回（n==1）？n：三角递归（n-1）+n；
}
//返回n^2-（n（n-1））/2
//用蛮力检验我理论的实用方法
双重测试理论（双n）
{
返回功率（n，2）-（n*（n-1））/2；
}
内部主（空）
{
//当值远远超过4000时，此循环失败
//已添加编辑-失败是由于值太大
//发生这种情况时，程序崩溃
//这是使用递归函数的一个缺点
对于（auto i=1；i，递归函数通常具有如下形式：

recursive(param) {
    if (base_case)
        return base_value;

    new_param = move_param_toward_base(param);
    return combine(present_value, recursive(new_param);
}

归纳证明基本上有两个步骤：

证明一些（通常是琐碎的）基本情况
证明一些扩展它的方法，这样，如果基本情况是真的，那么对于一些更大的输入集，扩展版本仍然是真的
证明扩展可以或多或少任意应用，因此结果对于所有输入都是正确的
使用递归函数：

表明您已正确检测并处理基本情况
您可以证明对其他值的扩展是正确的
您表明，您正在以一种方式修改参数，这种方式将在有限的步骤中产生基本情况
但是，也有一些不同，包括你在这里遇到的那个。特别是在数学中，非模数可以无限增长——但在计算机上，所有的数都是模数；没有一个数可以无限增长。
递归函数通常有如下形式：

recursive(param) {
    if (base_case)
        return base_value;

    new_param = move_param_toward_base(param);
    return combine(present_value, recursive(new_param);
}

归纳证明基本上有两个步骤：

证明一些（通常是琐碎的）基本情况
证明一些扩展它的方法，这样，如果基本情况是真的，那么对于一些更大的输入集，扩展版本仍然是真的
证明扩展可以或多或少任意应用，因此结果对于所有输入都是正确的
使用递归函数：

表明您已正确检测并处理基本情况
您可以证明对其他值的扩展是正确的
您表明，您正在以一种方式修改参数，这种方式将在有限的步骤中产生基本情况
但是，也有一些不同，包括你在这里遇到的那个。特别是在数学中，一个非模数可以无限增长——但是在计算机上，所有的数都是模的；没有一个可以无限增长。
//当值远远超过4000时，这个循环失败
到底失败了什么？值变成了什么太大且程序崩溃为什么使用
pow（n，2）
而不是只乘以
n*n
？整数算法（后者）是精确的，而浮点是近似值。您展示了基本情况。现在只需将值k和k-1插入您的猜想，并显示两者之间的差异为k。@pjs谢谢。至于我为什么使用pow？我真的没有很好的理由。
//在值远远超过4000时，此循环失败
到底失败了什么值变得太大，程序崩溃为什么使用
pow（n，2）
而不是只乘以
n*n
？整数算法（后者）是精确的，而浮点是近似值。你展示了基本情况。现在只需将值k和k-1插入你的猜想，并显示两者之间的差异为k。@pjs谢谢。至于我为什么使用pow？我真的没有很好的理由。这是否意味着我的post条件没有数学证明？如果你指的是蛮力测试，我很清楚它的局限性，我甚至不认为它是一个有效的测试-它更像是一个检查。我需要一个实际的数学证明。@杰姆斯表明它是正确的基本情况，如果它是正确的K，它是真实的K + 1。（或者，案例k+1和k之间的差异是递归更新量）是一个数学证明。我想困扰我的是，在插入所有值后，我的结果将与我在post条件中使用的形式相同：n^2-1/2（n（n-1））但是我得到的解决方案看起来一点也不像。@James你试过逐字计算
f（k+1）-f（k）吗
对于你猜测的答案？如果你是对的，它应该会产生
k+1
，从你的递归中更新。明白了。谢谢你们两个坚持我的观点。我正在整理一个干净的解决方案，不久将发布。这是否意味着我的post条件没有数学证明？如果你指的是b摩擦力测试，我很清楚这些局限性，我甚至不认为它是一个有效的测试-它是一个更大的检查。我需要一个实际的数学证明。”杰姆斯表明，这是真实的基础。