C++ 该素性检验函数的时间复杂度

这个函数的时间复杂度是多少

bool prime(int n) {
    if(n <= 1) {
        return false;
    } else if(n <= 3) {
        return true;
    } else if(n % 2 == 0 || n % 3 == 0) {
        return false;
    } else {
        for(int i = 5; i * i <= n; i += 6) {
            if(n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

---

每个if都是恒定时间

for

循环执行直到

i*i

达到

n

这意味着它执行

sqrt（n）/6次。所以复杂性是
O（sqrt（n））

质数的密度与
1/log（n）
成正比（这可能是解决方案中
log（n）
的来源）

注意，时间复杂性（无形容词）通常被认为是最坏的时间复杂度：

由于算法的运行时间在相同大小的不同输入之间可能会有所不同，人们通常会考虑，这是给定大小的输入所需的最大时间量

在这种情况下，平均时间复杂度的计算要困难得多。你必须证明当
n
不是质数时，循环的平均终止速度有多快。
我有一个印象，它是O（n）？但仅仅for循环最多需要O（sqrt（n）），我认为损失界是O（sqrt（n）），而更紧的界是O（sqrt（n）*1/6）。不是专家，可能完全错了。请问日志是从哪里来的？@MarkRansom一旦知道，很容易证明；）但是如果它是
O（sqrt（n））
如果我将int改为long-longs，而我的n是
1020100101111191
，它运行得非常快。计算机平均每秒钟运行大约10^8次操作。这个数字有16位长，应该在1秒左右运行，但它几乎立即运行，并告诉我它是一个素数。素数的密度很重要：当
返回false时路径时，for
循环的
提前退出，降低了时间复杂度。您可以调用
O（sqrt（n））
最坏情况复杂度，但我认为它不是有效的平均时间复杂度。@Jeffrey复杂度总是针对最坏情况计算的。所以在这种情况下，
n
是素数。请注意，表示法
O
表示渐近复杂性，但不慢于此。肯定不总是如此。在素数测试的情况下，当你知道大多数情况不会是最坏的情况时，考虑一般情况是有意义的。
O(sqrt(log(n)))