Time complexity 依赖和条件三重for循环的时间复杂度

上述算法的时间复杂度是多少？

这听起来像是一个家庭作业问题，但非常有趣，所以我来试一试。我们将只计算星号打印的次数，因为它占主导地位

对于每个

j

，只有那些可被

i

整除的循环才会触发最内层循环的执行。他们有多少人？好的，在范围

[1，i*i）

中，那些是

i，2*i，3*i，…（i-1）*i

。让我们更进一步。

k

从

0

迭代到

j

，所以首先我们将进行

i

迭代（对于

j=i

），然后是

2*i

（对于

j=2*i

），然后是

3i

，直到迭代

i
）*i
次。这是每个
i
的
i+2*i+3*i+（i-1）*i
打印星号。由于
i
从
0
变为
n
，因此总迭代次数是所有
i+2*i+3*i+（i-1）的总和*i
其中
i
从
0
到
n
。让我们总结一下：


这里我们多次使用了第一个
n
数的和的公式。在最终和中占主导地位的因子显然是
k^3
，并且因为第一个
n-1
立方体的和的公式是

,

总的复杂度是O（n^4）

这是我过去考试中的一个问题经过分析后，我发现语句3只适用于n次。由此我们可以推断第5个语句不会运行n**3次。它应该是O（n^3）吗？看一下上面的评论。事实上，我目前通过手机上网。所以我无法很好地描述。看一下上面的评论。我认为应该是O（n**3）…今天晚些时候我会更有效地向你解释。@AbhishekKhandelwal我已经为你写下了每一行证明这是

O（n^4）

，请仔细检查。如果您仍然不确信，请尝试计算执行的次数，例如

n

和

3n

足够大的

n

。您会注意到该比率接近81。您可以对任意

n

和

kn

进行相同的计算，您会发现该比率为接近

k^4

@AbhishekKhandelwal我进一步扩展了我的答案，希望现在能更清楚地得到迭代的总次数，它给出了

O（n^4）

复杂性。但是我的同事相信复杂性是O（n^5）。但我不明白为什么。你能描述一下他为什么说O（n^5）。

for i in xrange(1,n+1):
    for j in xrange(1,i*i):
        if j%i==0:
            for k in xrange(0,j):
                print("*")