C# 如何求解素数函数的大O表示法？

我正在努力理解大O符号。很抱歉，如果我问了一些太明显的问题，但我似乎无法理解这一点

我有下面的C#代码函数，我正试图为它计算Big-O符号

for (i = 2; i < 100; i++)
     {
        for (j = 2; j <= (i / j); j++)
           if ((i % j) == 0) break; // if factor found, not prime
        if (j > (i / j)) 
           Console.WriteLine("{0} is prime", i);
     }

因为它是一个线性函数，所以它是O（n）和一个嵌套循环，不依赖于周围循环中的变量

for(i = 0; i < 100; i++)
    for(j = 0; j < 100; j++)

（i=0；i<100；i++）的

对于（j=0；j<100；j++）

是O（n^2）？但是我如何计算一个函数，比如上面的函数，其中第二个循环依赖于第一个循环，并创建一个非线性函数

我找到了线性数学的一个定义

线性算法可扩展到大型问题。每当N翻倍， 运行时间增加了一倍（但不多）

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虽然这似乎是对这个代码段如何运行的一个很好的描述，但这是否意味着它是O（N Log[N]），如果是，我该如何计算呢？

@Jon很接近，但他的分析有点错误，并且算法的真正复杂性是

O（N*sqrt（N））

这是基于这样一个事实，即对于每个编号

i

，您应该在内部循环中执行的预期“工作”数量为：

1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + (sqrt(i)-1)/sqrt(i) = 
 = 1-1/2 + 1-1/3 + ... + 1-1/sqrt(i)
 = sqrt(i) - (1/2 + 1/3 + ... + 1/sqrt(i)
 = sqrt(i) - H_sqrt(i)

由于

H_sqrt（i）

（）是在

O（log（sqrt（i））=O（1/2*log（i）

中，我们可以得出这样的结论：对于每个素数计算，复杂性是

O（sqrt（i）-log（i））=O（sqrt（i））

由于这是每个

i

重复进行的，因此问题的总复杂性是

O（sqrt（2）+sqrt（3）+…+sqrt（n））

。根据，平方根的和是

O（n*sqrt（n））

，比

O（nlogn）

更“糟糕”

注意事项：

第一个总和等于sqrt（i），因为这是

j>（i/j）

的点

对于每个

j

，第一个和是

（j-1）/j

，因为平均每

j

个元素中有一个进入了中断状态（1/3的元素可以除以3，1/4除以4，…），这就剩下了我们没有的

（j-1）/j

，这是我们所期望的工作

任何常数

k

的等式

O（log（sqrt（n））=O（1/2*log（n）

来自

O（log（n^k））=O（k*log（n））=O（log（n））

（在您的例子中，k=1/2）

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通过分析您的算法，我得出以下结论：

• 当

  i

  处于区间

  [2,3]

  时，内部循环不会迭代
• 当

  i

  处于区间

  [4,8]

  时，内部循环会迭代一次
• 当

  i

  处于区间

  [9,15]

  时，内部循环会迭代两次
• 当

  i

  处于区间

  [16,24]

  时，内部循环会迭代三次
• 当

  i

  处于区间

  [25,35]

  时，内部循环会迭代四次
• 当

  i

  在区间

  [36,48]

  中时，内部循环会迭代五次
• 当

  i

  在区间

  [49,63]

  中时，内部循环会迭代六次
• 当

  i

  在

  [64,80]

  间隔内时，内部循环会迭代七次
• 当

  i

  在

  [81,99]

  间隔内时，内部循环会迭代八次。 我必须去一个大于100的范围来验证上述内容
• 当

  i

  在

  [100120]

  间隔内时，内部循环会迭代九次

取决于

i的

值的间隔可以如下表示：

[i^2, i * (i + 2)]

因此，我们可以这样做：

经验验证：

通过一个有用的WolframAlpha链接：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum[+floor%28+i^%281%2F2%29%29+-+1+]+with+i+from+2+to+99.

我们可以正式声明如下：

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我查看了您的代码-没有n。代码不依赖于任何n。它将始终在完全相同的固定时间内运行。您可以计算它需要多长时间，但它始终是相同的常量时间。如前所述，以“for（I=2；I<100；++I）”开头的代码在O（1）中运行

因此，将第一行更改为

for (i = 2; i < n; ++i)

（i=2；i 现在我们有了实际上依赖于n的代码。内部循环最多运行sqrt（i）次迭代，比sqrt（n）次要少。外部循环大约运行n次迭代。所以执行时间最多为O（n sqrt（n））=O（n^1.5）

实际上，它会运行得更快。它通常不会运行到sqrt（i），但只有在找到i的除数之前才会运行。一半的数字可以被2整除（一次迭代）。剩下的三分之一可以被3整除（两次迭代）。剩下的五分之一可以被5整除（四次迭代）。大约n/ln n个数字是带有sqrt（n）的素数迭代次数。大约n/ln更多的数字是两个素数>n^（1/3）与最多sqrt（n）次迭代的乘积。其余的少于n^（1/3）次迭代

所以代码实际上是在O（n^1.5/ln n）中运行的。您可以通过使用一个素数表来改进这一点，直到sqrt（n），然后将其减少到O（n^1.5/ln^2 n）

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但是在实践中，你可以打赌Console.WriteLine（）比检查一个数字是否为素数花费的时间要长得多。如果你坚持列出所有素数，那么你的算法将被O（n/ln）控制用一个非常大的常数因子来显示结果，直到n变得非常大。

次要问题-你是如何得到那张图的？仅供参考，我认为这个问题更适合。该网站是为更多的理论编程问题而设计的，而StackOverflow是为解决编程问题而设计的。与任何网站一样，请确保阅读发帖指南，熟悉需要回答的问题。@JLRishe-请不要添加这样的评论。如果您认为该问题应该

for (i = 2; i < n; ++i)