Floating point 为什么浮点数不准确？

为什么有些数字在存储为浮点数时会失去准确性

例如，十进制数

9.2

可以精确地表示为两个十进制整数的比率（

92/10

），这两个整数都可以精确地表示为二进制（

0b1011100/0b1010

）。但是，作为浮点数存储的相同比率永远不会完全等于

9.2

：

32-bit "single precision" float: 9.19999980926513671875
64-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875

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这样一个看似简单的数字怎么可能“太大”而无法在64位的内存中表达呢？

在大多数编程语言中，浮点数的表示方式非常类似：用指数和尾数（也称为有效位）表示。一个非常简单的数字，比如说

9.2

，实际上是这个分数：

5179139571476070*2-49

其中指数为

-49

，尾数为

5179139571476070

。无法用这种方式表示某些十进制数的原因是，指数和尾数都必须是整数。换句话说，所有浮点必须是整数乘以2的整数幂

9.2

可能只是

92/10

，但如果n被限制为整数值，则10不能表示为2n

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查看数据 首先，使用一些函数查看构成32位和64位

浮点的组件。如果您只关心输出（例如Python），请忽略这些内容：

def float_至_bin_部件（数字，位=64）：
如果位==32:#单精度
int_pack='I'
浮动包装='f'
指数_位=8
尾数_位=23
指数偏差=127
elif位==64:#双精度。所有python浮动都是这样的
int_pack='Q'
浮动包装='d'
指数_位=11
尾数_位=52
指数偏差=1023
其他：
raise VALUERROR，“bits参数必须为32或64”
bin_iter=iter（bin（结构解包（int_pack，结构包（float_pack，number））[0]）[2:][.rjust（位，'0'））
返回[''.join（islice（bin_iter，x））表示x in（1，指数位，尾数位）]

这个函数的背后有很多复杂的东西，解释起来很切题，但是如果你感兴趣的话，模块是我们的重要资源

Python的
float
是一个64位的双精度数字。在其他语言中，如C、C++、java和C语言，双精度有一个单独的类型：代码>双< /代码>，通常是64位。

当我们用示例调用该函数时，
9.2
，我们得到如下结果：

>>> float_to_bin_parts(9.2)
['0', '10000000010', '0010011001100110011001100110011001100110011001100110']


解读数据
您将看到我已将返回值拆分为三个组件。这些组成部分是：


标志
指数
尾数（也称为有效位或分数）

签名
符号作为单个位存储在第一个组件中。很容易解释：
0
表示浮点为正数<代码>1

表示为负数。因为

9.2

为正，所以符号值为

0

指数

指数以11位存储在中间组件中。在我们的例子中，

0b10000000010

。以十进制表示，表示值

1026

。这个组件的一个奇怪之处是，必须减去一个等于2（#位）-1-1的数字才能得到真正的指数；在我们的例子中，这意味着减去

0b1111111111

（十进制数

1023

）得到真正的指数，

0b0000000011

（十进制数3）

尾数 尾数作为52位存储在第三分量中。然而，这个组件也有一个怪癖。为了理解这个怪癖，在科学符号中考虑一个数字，例如：

6.0221413x1023

尾数将是

6.0221413

。回想一下，科学记数法中的尾数总是以一个非零的数字开始。二进制也是如此，只是二进制只有两个数字：

0

和

1

。所以二进制尾数总是以

1

开头！存储浮点时，二进制尾数前面的

1

被省略以节省空间；我们必须把它放回第三个元素的前面，才能得到真正的尾数：

1.0010011001100110

这不仅仅是一个简单的加法，因为存储在第三个分量中的位实际上代表尾数的小数部分，在尾数的右边

在处理十进制数时，我们通过乘以或除以10的幂来“移动小数点”。在二进制中，我们可以通过乘以或除以2的幂来做同样的事情。由于第三个元素有52位，我们将其除以252，将其向右移动52位：

0.0010011001100110

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在十进制表示法中，这与将

675539944105574

除以

4503599627370496

得到

0.1499999999999999

相同。（这是一个可以精确表示为二进制，但只能近似表示为十进制的比率示例；有关更多详细信息，请参阅：）

现在我们已经将第三个分量转换为一个小数，加上

1

就得到了真正的尾数

重述组件

• 符号（第一个分量）：

  0表示正，
  1表示负

• 指数（中间分量）：减去2（#位）-1-1得到真正的指数
• 尾数（最后一部分）：除以2（#位），然后加

  1

  ，得到真正的尾数

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计算数字 将这三部分放在一起，我们得到了一个二进制数：

1.0010011001100110 x 1011

然后我们可以将其从二进制转换为十进制：

>>> float_to_bin_parts(9.5)
['0', '10000000010', '0011000000000000000000000000000000000000000000000000']