Floating point 如何判断一个数字是否可以精确表示为32位IEEE浮点？

这是我课本上的一项任务

假设一台计算机的字长为32位，按以下方式划分：
符号位为1位
9位偏置指数
23位尾数部分

2^-1+2^-29是这台计算机上的机器号吗？ 我该如何确定这一点

abs（-1）-（29））

大于尾数宽度，因此不需要，这将需要太多有效数字（尾数位）

如果用非指数二进制点表示法写出它们，如

0.10000…0001

，则两个数字之间的差距将大于尾数。（类似于小数点，但它是二进制位值，所以我们称之为二进制点。）

i、 e.对于2-1，2-29小于1 ulp。（ULP=最后一位的单位=尾数的低位。）

二进制浮点数可以表示固定数量的（二进制）“有效数字”，等于尾数宽度，而不考虑指数。（）

---

请注意，存储的尾数宽度仅为23位，但有一个隐式的前导1（用于规范化数字）

所以1+2-23是完全可以表示的。i、 e1 ulp相对于1.0=

2^-23

。（相关信息：与C FLT_EPSILON一样，EPSILON是1.0的半个ulp，因此二进制32浮点值为2^-24。这是您可以添加到

1.0

中的最大值，并且仍然可以将结果舍入到

1.0

，即添加到

1.0

时可以得到的最大舍入误差）

请注意，许多现代文档使用“有效位”而不是“尾数”，因为它在数学上更为正确。

abs（-1）-（29））

大于尾数宽度，因此不需要，这将需要太多有效数字（尾数位）

如果用非指数二进制点表示法写出它们，如

0.10000…0001

，则两个数字之间的差距将大于尾数。（类似于小数点，但它是二进制位值，所以我们称之为二进制点。）

i、 e.对于2-1，2-29小于1 ulp。（ULP=最后一位的单位=尾数的低位。）

二进制浮点数可以表示固定数量的（二进制）“有效数字”，等于尾数宽度，而不考虑指数。（）

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请注意，存储的尾数宽度仅为23位，但有一个隐式的前导1（用于规范化数字）

所以1+2-23是完全可以表示的。i、 e1 ulp相对于1.0=

2^-23

。（相关信息：与C FLT_EPSILON一样，EPSILON是1.0的半个ulp，因此二进制32浮点值为2^-24。这是您可以添加到

1.0

中的最大值，并且仍然可以将结果舍入到

1.0

，即添加到

1.0

时可以得到的最大舍入误差）

请注意，许多现代文档使用“有效位”而不是“尾数”，因为它在数学上更为正确

2^-1+2^-29是这台计算机上的机器号吗？
我该如何确定这一点

假设假设格式使用的是base 2（未指定），那么2-1和2-29都可以精确表示为2的小幂。让我们称它们为

a_1

和

a_29

，并假设

a_1>a_29>0

“符号位为1位， 9位有偏指数， 23位尾数部分类似于。如果它遵循所有这些规则（包括次法线），那么不同值之间的任何减法都不会导致0。这对于下一步很重要

设置和/差

acc=a_1+/-a_29

和

acc_1=acc-a_1

。如果

acc\u 1==+/-a\u 29

，那么

acc

是精确表示的，否则

acc

不是精确的和/差

a\u 1+/-a\u 29

，只是四舍五入的结果

在2-1和2-29的情况下，由于“23位尾数部分”太窄，无法准确编码2-1-29的相对差异，因此差异不能准确表示。我们需要大约“27-28位尾数部分”来完成

2^-1+2^-29是这台计算机上的机器号吗？
我该如何确定这一点

假设假设格式使用的是base 2（未指定），那么2-1和2-29都可以精确表示为2的小幂。让我们称它们为

a_1

和

a_29

，并假设

a_1>a_29>0

“符号位为1位， 9位有偏指数， 23位尾数部分类似于。如果它遵循所有这些规则（包括次法线），那么不同值之间的任何减法都不会导致0。这对于下一步很重要

设置和/差

acc=a_1+/-a_29

和

acc_1=acc-a_1

。如果

acc\u 1==+/-a\u 29

，那么

acc

是精确表示的，否则

acc

不是精确的和/差

a\u 1+/-a\u 29

，只是四舍五入的结果

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在2-1和2-29的情况下，由于“23位尾数部分”太窄，无法准确编码2-1-29的相对差异，因此差异不能准确表示。我们需要大约“27-28位尾数部分”才能做到这一点。

关于下溢的有趣点，但问题是关于加法而不是减法。

-

符号在指数中。（这个问题实际上不是关于FP加法，但在这种情况下，输入都是可精确表示的，因此可以这样处理。当然，假设二进制浮点；在我编辑之前，问题被标记为，IEEE二进制浮点比IEEE十进制浮点更常见。）@彼得考德斯对求和/求差计算的修正答案。对整个流程没有太大的改变。关于下溢的有趣点，但问题是关于加法而不是减法。

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符号在指数中。（好吧，问题不是关于FP加法，但在这种情况下，输入都是精确的抑制