Function 混合两个函数，其中一个是逆函数

让我先解释一下这个想法。实际的数学问题在屏幕截图下面。 出于音乐目的，我正在构建一个groove算法，其中事件位置由数学函数F（X）转换。位置在凹槽范围内被标准化，因此我基本上处理0到1之间的值（这使得凹槽曲线的成形更加容易，唯一的限制是x'>=0）。 groove算法可以接受任何事件位置，还可以从数据结构（如时间线注释轨迹）中过滤静态注释。为了过滤特定范围内的事件（音频块大小），我需要反向groove函数来定位曲目中的音符，并将它们转换为groove空间。到现在为止，一直都还不错。它起作用了

简而言之：我使用一个反函数来表示它镜像到（y=x）的事实。所以我可以插入一个值x，得到一个y。很明显，这个y可以插入到反函数中，再次得到第一个x

问题：我现在希望能够将groove混合到另一个groove中，但通常的线性（提示）混合代码的行为与我预期的不一样。为了简化，我首先尝试混合到y=x

B(x)=alpha*F(x) + (1-alpha)*x;
iB(x)=alpha*iF(x) + (1-alpha)*x;

对于alpha=1，我们得到完整的曲线。对于alpha=0，我们得到一条直线。但是对于0到1之间的alpha，B（x）和iB（x）不再被镜像（接近，但不够），F（x）和iF（x）仍然被镜像

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是否有解决方案（除了将曲线量化为线段）？我应该关注的主题是什么？

你把两个函数f（x）和g（x）结合起来，这样y=af（x）+（1-a）g（x）。给定一些y，a，f和g，你想找到x。至少，这是我的理解

一般来说，我不知道如何做到这一点（尽管我没有尽力——我的意思是，这值得向其他人请教），但我怀疑，对于你似乎正在使用的“漂亮”形状的函数，牛顿的方法会相当快

你想找到x，使得y=af（x）+（1-a）g（x）。换句话说，当0=af（x）+（1-a）g（x）-y时

那么让我们定义r（x）=af（x）+（1-a）g（x）-y，并找到它的“零”。从中间的猜测开始，XY0＝0.5。计算x_1=x_0-r（x_0）/r'（x_0）。重复一遍。如果你幸运的话，这将快速收敛（如果不是，你可以考虑定义相对于y= x的函数，你似乎已经在做了，然后再试一次）。

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参见

一般来说，这个问题不能用代数方法解决

比如说

y=2e^x

（逆

x=log 0.5y

）

及

y=2x

（逆

x=0.5y

）

将这些元素与权重0.5混合在一起得到

y=e^x+x

，众所周知，这里仅使用初等函数无法求解

x

，即使很容易找到每个元素的倒数

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您需要使用数值方法来近似逆运算，正如上面andrew所讨论的。

等等。。。你就是制作音阶矩阵的安德烈·米歇尔吗？如果是这样的话，那么感谢你制作了这么棒的应用程序！是的，谢谢。我猜这个解是方程的一个近似解。我希望数学更可靠。我已经添加了图像内联。你能在不依赖“groove”和“blend”（这是指插值）等术语的情况下解释更多吗？也许是通过评论图片？听起来好像你有两个函数，从[0,1]->[0,1]以线性方式组合，你想要逆函数？groove是指任何转换事件的函数。通过混合，我的意思是从函数A插值到函数B。让我们看看我是否理解正确：有两个“groove函数”

F（x）

和

G（x）

，当

x

介于0和1之间时，这两个函数的值都在0和1之间，这些函数的逆函数是

if（x）

和

iG（x）

。现在构造一个新函数

B（x）=alpha*F（x）+（1-alpha）*G（x）

，需要根据

iF（x）

和

iG（x）

找到该函数的逆函数？如果是这样的话，我想你可能想在会议上问这个问题，也许是在问这个问题的同时。他们可以告诉你是否有一个有用的数学程序。