Functional programming “如何证明”~（nat=False）“&引用~（nat=bool）“；及~（nat=True）“；在coq中

以下两个命题很容易证明

Theorem nat_eq_nat : nat = nat.
Proof.
  trivial.
Qed.

Theorem True_neq_False : ~(True = False).
Proof.
  unfold not.
  intros.
  symmetry in H.
  rewrite H.
  trivial.
Qed.

但是当我试图证明一个稍微不同的命题时，我发现重写策略不起作用。它报告

错误：为精简程序提供了类型为“Set”的参数“fun x:Set=>x” ->“设置”而不是“设置->道具”

所以我试着写一个引理

Lemma Type_eq_prod : forall (a : Type) (b : Type), a = b -> (a -> b).
Proof.
  intros.
  rewrite <- H.
  trivial.
Qed.

Theorem nat_neq_False : ~(nat = False).
Proof.
  unfold not.
  intros.
  apply (Type_eq_prod nat False) in H.
  inversion H.
  apply 0. (*no subgoals left*)

下面是另外两个让我陷入困境的命题

Theorem nat_neq_bool : ~(nat = bool).
Proof.
  unfold not.
  intros.
Abort.

Theorem nat_neq_true : ~(nat = True).
Proof.
  unfold not.
  intros.
Abort.

我的问题是：

 1.Why the rewrite tactic doesn't work with proposition ~(nat = False).
 2.Why can't I Qed it when there is no subgoals.
 3.How to prove the aborted propositions above or is it possible to prove or prove the negates of them in coq.

重写策略不起作用，因为Coq是如何处理其宇宙的，

Prop

、

Set

和

Type

。有一种包容的概念，它允许人们使用

道具

，就好像它是

集合

或

类型

。这就是为什么首先允许您编写

nat=False

，因为只有相同类型的事物之间才允许相等。问题是，对于Coq，

False:Prop

与

False:Set

不同

not

是用

False:Prop

定义的，这意味着重写将产生不匹配，这解释了您收到的错误消息

这里有一些类似的方法可以起作用。请注意对

集的显式强制

Lemma nat_neq_False_2 : (nat = False) -> (False : Set).
Proof.
  intros H.
  rewrite <- H.
  apply 0.
Qed.

Lemma nat_neq_False_3 : ~(nat = False).
Proof.
  intros H.
  destruct (nat_neq_False_2 H).
Qed.

在这里，我们可以看到问题是，再次出现了宇宙不匹配：一个等式在
类型
中，而另一个等式在
集合
中。有几种方法可以解决这个问题；最简单的方法可能是将第一个定理改为：

Lemma Type_eq_prod : forall (a : Set) (b : Set), a = b -> (a -> b).

这两个命题在Coq中都是可证明的。在Coq的基本理论中，唯一能够证明诸如

nat

和

bool

等简单类型不同的方法是通过基数参数。因此，

nat bool

，因为

bool

只有两个元素，而

nat

有更多元素。因此，通过显示

bool

有两个元素，可以重写等式

nat=bool

，以发现

nat

也应该有两个元素，然后利用这一点得到矛盾。类似的参数将显示

nat True

---

谢谢你的详细回答。但是如何证明布尔有两个要素呢？如果这两个集合是nat和正的，并且在理论上有相等的元素，那么如何证明nat是正的呢？证明bool只有两个元素是很容易的：一个人可以证明一个语句，例如

存在b1 b2:bool，对于所有的b3:bool，b3=b1\/b3=b2。

通过执行

存在true。存在错误。简介[]；自动。

。然而，不可能在Coq中显示

nat阳性。事实证明，这与理论无关，这意味着可以将
nat=positive
和
nat-positive
分别添加为公理。
Set Printing All.

Lemma Type_eq_prod : forall (a : Type) (b : Type), a = b -> (a -> b).
Proof.
  intros.
  rewrite <- H.
  trivial.
Qed.

Theorem nat_neq_False : ~(nat = False).
Proof.
  unfold not.
  intros.
  apply (Type_eq_prod nat False) in H.
  inversion H.
  apply 0. (*no subgoals left*)
Qed.


(* Error: Illegal application (Type Error):  *)
(* The term "Type_eq_prod" of type "forall a b : Type, @eq Type a b -> a -> b" *)
(* cannot be applied to the terms *)
(*  "nat" : "Set" *)
(*  "False" : "Prop" *)
(*  "H" : "@eq Set nat False" *)
(*  "O" : "nat" *)
(* The 3rd term has type "@eq Set nat False" which should be coercible to *)
(*  "@eq Type nat False". *)

Lemma Type_eq_prod : forall (a : Set) (b : Set), a = b -> (a -> b).