Functional programming 对于定点组合子Y，什么是\x.f（xx）

对于Y组合定理

 For every function F there exists an X such that FX=X

这里的

F

是什么意思？F（x）=x+1的固定点是什么？我的理解是，

x+1=x

没有解决方案

以下证明：

For any function F, let W be the function λx.F(xx) and let X = WW.
    We claim that X is a fixed point of F. Demonstrated as follows

    X = WW
    X = λx.F(xx) W
    X = F(WW)
    X = FX 

---

λx.F（xx）

是如何定义的？再次以

F（x）=x+1

为例，什么是

F（xx）

的意思

你是对的，当

x

是一个数字时，方程

x+1=x

没有解。这里发生的事情是，

x

不局限于一个数字；它可以是函数的函数

关于

xx

：通常在lambda演算中

fx

是一个函数应用程序，因此

xx

是“x应用于x”，或

x（x）

。请注意，x是如何应用的函数和传递给它的值

因此，如果

F（x）=x+1

，你有

F（xx）=x（x）+1

，

W=λx.（x（x）+1）

，并且

x=W（W）

将是函数：

X = W(W) = (λx.(x(x)+1)) (λy.(y(y)+1))

这可能看起来非常抽象，因为如果你尝试在任何具体的值上展开X，你会发现这个过程永远不会结束。但不要让这件事困扰你；尽管如此，

X

是

F

的一个固定点，因为

F(X) = F(W(W))             by definition of X = W(W)
     = (λx.F(x(x))) W      using the fact that (λt.f(t))x is f(x)
     = W(W)                by definition of W = λx.F(x(x))
     = X                   by definition of X = W(W).

---

函数的不动点是什么以及lambda演算符号似乎有点混淆

首先，

λx.F（xx）

是一个函数，它取一个参数x，“应用”x到x，然后“应用”F到结果，所以更像是

函数（x）{返回F（x（x））；}

，但不要从字面上理解它，因为在lambda演算中，它是关于参数的替换，并且没有进行替换的顺序（我用来简化的是应用顺序）

因此，用简单的文本重写语义重写为类似C的语法（实际上是JavaScript，因为它有第一类函数）的证明如下所示：

var W = function (x) { return F(x(x)); }
var X = W(W);

W(W) => (function (x) { return F(x(x)); }(W))
     => return F(W(W))
     => return F(X)
     => F(X)

现在回到定点。你给出一个不存在定点的代数例子……对于函数来说，它更像是“找到一个

ADD1（x）=x+1

”的定点

---

我希望熟悉的语法能让它更容易理解，而不是更容易：）

这里的

X

可以进一步简化为

F（X）=X+1

？你不能真正简化

X

，你只能把它扩展得越来越多。例如，仅使用

（λt.f（t））x

是

f（x）

这一基本事实，就可以将

x=（λx.（x（x）+1））（λy.（y（y）+1）扩展到
（λy）（y（y）+1）（（λy.（y（y）+1））+1
，并且可以进一步扩展得到
x=（λx.（x（x）+1））（（λx（x）+1））+n
对于任何正整数
n
。这当然只是重申一个事实，即X是F（X）=X+1的不动点意味着X=X+1=…=X+n。不动点
X=function（X）{while（true）++X；return（X）；}
？一个无限循环？只有在急切地求值时才是无限循环。。。但是lambda演算并没有告诉你们，你们需要做所有的替换，也没有告诉你们，替换的顺序。它只是给你一些身份。此外，固定点定义X=FX=FFX=FFFX。。。在同样的意义上是无限的……我发现@jJ关于评估策略的评论非常重要。在学习通过惰性函数语言（同名）配置的时首次遇到此问题，在该语言中，函数的固定点用于覆盖包定义；显示如何与不会导致无限循环的惰性语言一起使用。（刚刚了解到，这里定义的
fix
对闭包进行操作。）
var F = function (x) { return x + 1; }
var W = function (x) { return F(x(x)); }
      = function (x) { return function (x) { return x + 1; }(x(x)); }
var X = W(W);

W(W) => function (x) { return function (x) { return x + 1; }(x(x)); }(W)
     => return function (x) { return x + 1; }(W(W))
     => return W(W) + 1
     => W(W) + 1
     => X + 1
     => F(X)