Geometry 三角形的插值

我有一个单位直角三角形和3个顶点的值。 我需要插值来找到三角形内某一点的值。 数小时的搜索并没有发现任何能告诉我如何做的东西。 这是我最近的一次尝试，实际上非常接近，但并不完全正确-

                result = 
                v1 * (1 - x) * (1 - y) +
                v2 * x * (1 - y) +
                v3 * x * y;

v1、v2和v3是三角形3个顶点处的值。 （x，y）是三角形中试图求其值的点

任何一种方法都会对我有所帮助。它不一定是一个单位/直角三角形

更新信息： 我有一个等间距点的网格，每个点都有一个值。 我用网格上最近的3个点做一个三角形。 下面是一张图片来说明它-
所以我必须在5，3，和7之间插值才能得到x的值。 该点也可以位于另一个三角形内，这意味着您将在5、7和正方形左下角的值之间进行插值

在我显示的代码中，v1=5，v2=3，v3=7。
x是“x”方向上的分数距离（范围[0-1]），y是“y”方向上的分数距离。
在图片的示例中，x可能约为0.75，y约为0.2

以下是我最近的尝试-

使用以下内容创建：

        if (x > y) //if x > y then the point is in the upper right triangle
            return
                v1 * (1 - x) * (1 - y) +
                v2 * x * (1 - y) +
                v3 * x * y;
        else //bottom left triangle
            return
                v1 * (1 - x) * (1 - y) +
                v4 * (1 - x) * y +
                v3 * x * y;

if (x > y)
            return
                (1 - x) * v1 + (x - y) * v2 + y * v3;
        else
            return
                (1 - y) * v1 + (y - x) * v4 + x * v3;

还有另一次尝试-

使用以下内容创建：

        if (x > y) //if x > y then the point is in the upper right triangle
            return
                v1 * (1 - x) * (1 - y) +
                v2 * x * (1 - y) +
                v3 * x * y;
        else //bottom left triangle
            return
                v1 * (1 - x) * (1 - y) +
                v4 * (1 - x) * y +
                v3 * x * y;

if (x > y)
            return
                (1 - x) * v1 + (x - y) * v2 + y * v3;
        else
            return
                (1 - y) * v1 + (y - x) * v4 + x * v3;

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它们都很接近我需要的，但显然不太正确。

好的，我们将做一个线性插值，假设梯度对于x和y是常数

d/dx=v2-v1

和

d/dy=v3-v2

，和

f（0,0）=v1

。我们有一个简单的二维微分方程

d{f(x,y)} = (v2 - v1)*dx
f(x,y) = (v2 - v1)*x + g(y)
d{f(x,y)} = g'(y) = (v3 - v2)*dy
g(y) = (v3 - v2)*y + C
f(x,y) = (v2 - v1)*x + (v3 - v2)*y + C
f(0,0) = v1 = (v2 - v1)*0 + (v3 - v2)*0 + C = C
f(x,y) = (v2 - v1)*x + (v3 - v2)*y + v1

或者就v1、v2和v3而言

f(x,y) = (1 - x)*v1 + (x - y)*v2 + y*v3

如果您想在四个顶点的正方形中进行此操作，如上所述，v4位于左下角的x=0 y=1处，这里有以下条件：

d/dx=（v2-v1）（1-y）+（v3-v4）y

，

d/dy=（v3-v2）x+（v4-v1）（1-x）

，

f（0,0）=v1

d/dx = (v2 - v1) (1 - y) + (v3 - v4) y
f(x,y) = (v2 - v1) (1 - y) x + (v3 - v4) y x + g(y)
d/dy = (v3 - v2) x + (v4 - v1) (1 - x) = -(v2 - v1) x + (v3 - v4) x + g'(y)
v3 - v2 + (v4 - v1) / x + v4 - v1 = -v2 + v1 + v3 - v4 + g'(y) / x
(v4 - v1) / x + 2*(v4 - v1) = g'(y) / x
g'(y) = (v4 - v1) + 2 x (v4 - v1)
g(y) = (v4 - v1) (1 + 2 x) y + C
f(x,y) = (v2 - v1) (1 - y) x + (v3 - v4) y x + (v4 - v1) (1 + 2 x) y + C
f(0,0) = (v2 - v1) (1 - 0) 0 + (v3 - v4) 0 0 + (v4 - v1) (1 + 2 0) 0 + C = v1
f(x,y) = (v2 - v1) (1 - y) x + (v3 - v4) y x + (v4 - v1) (1 + 2 x) y + v1

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下面是最近邻的一些伪代码：

if( dist( p, p1 ) <= dist( p, p2 ) && dist( p, p1 ) <= dist( p, p3 ) )
  return val( p1 )
if( dist( p, p2 ) <= dist( p, p3 ) && dist( p, p2 ) <= dist( p, p1 ) )
  return val( p2 )
if( dist( p, p3 ) <= dist( p, p1 ) && dist( p, p3 ) <= dist( p, p2 ) )
  return val( p3 )

---

if（dist（p，p1）我三年前问过这个问题，现在仍在研究一种方法。我确信，除非使用等边三角形，否则没有伪影是不可能做到的。
这里是一个不错的方法，使用重心坐标，然后添加一个技术，消除大部分的工件。
v1、v2、v3是三角形三点处的值。x、y是要为其找到值的点

if (x > y)
        {
            b1 = -(x - 1);
            b2 = (x - 1) - (y - 1);
            b3 = 1 - b1 - b2;
        }
        else
        {
            b1 = -(y - 1);
            b2 = -((x - 1) - (y - 1));
            b3 = 1 - b1 - b2;
        }

        float
            abs = x - y;
        if (abs < 0) abs *= -1;
        if (abs < 0.25f)
        {
            abs = 0.25f - abs;
            abs *= abs;
            b1 -= abs;
            b3 -= abs;
        }

        b1 *= b1;
        b2 *= b2;
        b3 *= b3;
        float fd = 1 / (b1 + b2 + b3);
        b1 *= fd;
        b2 *= fd;
        b3 *= fd;

        return
                v1 * b1 +
                v2 * b2 +
                v3 * b3;

if（x>y）
{
b1=-（x-1）；
b2=（x-1）-（y-1）；
b3=1-b1-b2；
}
其他的
{
b1=-（y-1）；
b2=-（（x-1）-（y-1））；
b3=1-b1-b2；
}
浮动
abs=x-y；
如果（abs<0）abs*=-1；
如果（abs<0.25f）
{
abs=0.25f—abs；
abs*=abs；
b1-=abs；
b3-=abs；
}
b1*=b1；
b2*=b2；
b3*=b3；
浮动fd=1/（b1+b2+b3）；
b1*=fd；
b2*=fd；
b3*=fd；
返回
v1*b1+
v2*b2+
v3*b3；
实际上，最简单、最稳健的解决方案是基于重心坐标-

你应该使用重心坐标。这里有一篇非常详尽的文章，也讨论了替代解决方案以及重心坐标最佳的原因：

基本上，权重最终将如下所示：

那么哪个顶点是哪个？告诉我坐标系是如何工作的，x和y的方向以及v1、v2和v3的位置。@Dan好的，我更新了一些信息，以更深入地说明我在做什么。你有具体的解释方法吗？线性/双线性/最近邻？三角形在这里真的很重要吗？四点插值可以吗？4点双线性插值是我通常的做法，但看起来我可以通过使用三角形来大大提高速度。我通常在v1和v2之间进行插值，然后在v3和v4之间进行插值，然后在这两个新值之间再次进行插值以获得最终值。我想做一些类似的事情，但要使用三角形。我需要某种形式的线性插值重新定位，因为最近的邻居只会生成大的彩色正方形，而不是正方形。它只会在使用正方形位置的采样点时生成正方形，并且您指定了三角形。抱歉，我的意思是它将生成大的纯色三角形*不，它不会。它将具有大的纯色区域，但不会生成三角形-这将生成4边形状。对于一个点，它将使两条边成为三角形外边缘的一半，两条线的垂直平分线与其他点。啊，好的。我还没有测试出来，但问题是它不适合工作。所以假设这将得到正确的值，我还必须考虑不在右上三角形中的点le，将在正方形的左下部分。因此我还需要一个v4。我尝试了这个-
if（x>y）//如果点在右上角三角形中，返回（1-x）*v1+（x-y）*v2+y*v3；else//如果点位于左下角的三角形返回（1-x）*v1+（x-y）*v4+y*v3；
但是它不起作用，你试图生成什么样的梯度？如果你想基于一个正方形，那么它会有点复杂，因为
d/dx=（v2-v1）（1-y）+（v3-v4）y
和
d/dy=（v3-v2）x+（v4-v1）（1-x）
。这仍然是可能的。不太确定你在问什么，但我正在制作一个平滑的噪波函数。我使用全平方和双线性插值，类似于柏林噪波，但我尝试使用三角形而不是正方形。我找到了一个非常接近的方法，但伪影非常糟糕。比如说，可以吗你把照片贴上去了吗