Graph 理解空间复杂性-BFS解决方案-绘制布尔矩阵

我试图理解BFS解决方案在“编程元素访谈”中描绘布尔矩阵问题的空间复杂性。这类似于Leetcode中的洪水填充问题（问题733）

解决办法是这样的。我可以将需要更改的当前元素添加到队列中。任何相邻（上/下/上/下）节点也需要更改。所以我将它们添加到队列中（如果它们满足要添加到队列中的条件。每当处理队列中的元素时，都会添加其相邻的元素。我们将进行处理，直到队列不为空为止

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我认为空间复杂度（最坏情况）将是O（MN），因为所有元素也可以在队列中。但书中提到，最坏情况下的空间复杂度是O（M+N），因为最多有O（M+N）从节点到给定距离的条目。我知道元素也会不断地从队列中移除。即使如此，我也很难想象它们是如何达到这种空间复杂性的。有人能帮我理解吗？

关键是BFS访问节点的顺序是它们与起始节点的距离。这是什么使BFS适合在未加权图中查找

在任何时间点，队列都不能包含两个节点

u

和

v

，使得

distance（start，u）

和

distance（start，v）

的差值大于1。为了论证起见，假设

u

与起始节点的距离为3，而

v

的距离为5：

• 如果队列中

  v

  出现在

  u

  之前，那么我们在

  u

  之前访问它-这是一个矛盾，因为BFS在访问距离较远的节点之前访问距离较早的节点
• 如果队列中

  u

  出现在

  v

  之前，那么当我们访问

  u

  时，我们会将

  u

  的邻居添加到队列中。这些邻居与起始节点的距离为4，但它们现在位于队列中

  v

  之后，因此，尽管距离大于4-另一个矛盾

因此，在任何时候，都存在一些距离

d

，使得队列只包含距离

d

或距离

d+1

的节点，而且距离

d

的所有节点都出现在队列中距离

d+1

的任何节点之前。这是BFS算法的一种

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假设您在一个M-by-N网格上进行BFS，其中每个节点都连接到其所有正交邻居。然后，对于任何

d>0

，距离

d

开始处的节点数最多为

4*d

，因此队列的最大可能大小为

4*d+4*（d+1）

。另外，任意两个节点之间的最大距离为

M+N-1

。因此，O（M+N）在任何时候都是队列大小的渐近界

如果网格中的某些节点“缺失”（即被洪水淹没的区域的颜色错误），则最大距离为O（MN）而不是O（M+N）；因此这种情况要困难得多。直觉是，如果图形的路径较长，那么它的“大开度”就较小路径分支的空间，从而产生更小的队列。在极端情况下，图可以是一条长路径，但在这种情况下，队列的大小为O（1）

然而，有些图的

4*d

界限被破坏，因此队列可能会更大。例如，可以用下面的形式构造图，其中图的大小是O（2k），但队列大小达到O（3k），因此BFS的空间复杂度在这个图族上是Θ（（M+N）log23）。因此引用的O（M+N）空间复杂性在最坏的情况下不成立，但在一般情况下可能成立

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此图像是由堆溢出（张贴在注释中）生成的；开始节点为黄色，红色节点将同时在队列中。

最大值

4*d

不清楚，

M+N-1

为最大值是错误的。您是否认为是“空的”grid？@HeapOverflow在图论a中包括所有正交边，a是一个网格的子图。我猜OP可能对洪水填充部分网格感兴趣（在这种情况下，证明更困难），但这在问题中并不明确。好吧，他们没有很好地陈述，但如果你看，你会发现它确实是部分的。好吧，我认为无论如何，它值得编辑以使其明确。

4*d

界限实际上不适用。看这个例子，我有36个红细胞，与黄细胞的距离为7：（考虑不可见的白细胞）。既然我们证明它是错的（见kaya3的更新答案），我想知道这本书是否真的错了，或者它的问题是否“相似”，但不是真正等价的，可能有更多的限制，所以O（m+N）在他们的情况下，实际上是正确的。你能再检查一次，也许再告诉一些书上说的话吗？@HeapOverflow你是正确的。你标记的leetcode问题是类似的。我仍然不知道为什么书中标记为O（m+n）。给出的推理是，最多有m+n个顶点与给定条目的距离相同。