Haskell 类型函数不能是内射的

我试图证明一些关于奇偶自然数的公理。我在证明中使用了三种定义的数据类型

data Nat = Z | S Nat

data Even (a :: Nat) :: * where
  ZeroEven :: Even Z
  NextEven :: Even n -> Even (S (S n))

data Odd (a :: Nat) :: * where
  OneOdd :: Odd (S Z)
  NextOdd :: Odd n -> Odd (S (S n))

我还为加法和乘法定义了以下类型族

type family   Add (n :: Nat) (m :: Nat) :: Nat
type instance Add Z m = m
type instance Add (S n) m = S (Add n m)

type family   Mult (n :: Nat) (m :: Nat) :: Nat
type instance Mult Z m = Z
type instance Mult (S n) m = Add (Mult n m) n

我定义了函数来证明两个偶数的和是偶数，两个偶数的乘积是偶数

evenPlusEven :: Even n -> Even m -> Even (Add n m)
evenPlusEven ZeroEven m = m
evenPlusEven (NextEven n) m = NextEven (evenPlusEven n m)

evenTimesEven :: Even n -> Even m -> Even (Mult n m)
evenTimesEven ZeroEven m = ZeroEven
evenTimesEven (NextEven n) m = evenPlusEven (EvenTimesEven n m) n

我使用的是

GADTs

，

datatypes

，

TypeFamilies

，以及

不可判定实例

语言扩展和GHC 7.10.3版。运行

evenPlusEven

会得到我期望的结果，但是当我包含

eventimesven

时，我会得到一个编译错误。错误是：

Could not deduce (Add (Add (Mult n1 m) n1) ('S n1)
                  ~ Add (Mult n1 m) n1)
from the context (n ~ 'S ('S n1))
  bound by a pattern with constructor
             NextEven :: forall (n :: Nat). Even n -> Even ('S ('S n)),
           in an equation for `evenTimesEven'
  at OddsAndEvens.hs:71:16-25
NB: `Add' is a type function, and may not be injective
Expected type: Even (Mult n m)
  Actual type: Even (Add (Mult n1 m) n1)
Relevant bindings include
  m :: Even m
    (bound at OddsAndEvens.hs:71:28)
  n :: Even n1
    (bound at OddsAndEvens.hs:71:25)
  evenTimesEven :: Even n -> Even m -> Even (Mult n m)
    (bound at OddsAndEvens.hs:70:1)
In the expression: evenPlusEven (evenTimesEven n m) n
In an equation for `evenTimesEven':
    evenTimesEven (NextEven n) m = evenPlusEven (evenTimesEven n m) n

Mult

compile的类型族实例很好，如果我用错误抛出替换

evenTimesEven

的最后一行，我可以编译代码，并且函数运行良好，输入

ZeroEven

，这使我认为

Mult

的实例是正确的，我的

evenTimesEven

是问题所在，但我不确定原因

---

偶数（Mult n m）

和

偶数（Add（Mult n1 m）n1）

不应该有相同的类型吗

下面，我将滥用常用的数学符号

from the context (n ~ 'S ('S n1))

由此，我们得到

n=2+n1

Expected type: Even (Mult n m)

我们需要证明

n*m

偶数，即

（2+n1）*m

偶数

Actual type: Even (Add (Mult n1 m) n1)

---

我们已经证明了

（n1*m）+n1

是偶数。这是不一样的。附加的术语应该是

m

，而不是

n1

，并且应该添加两次。

不应该

evenPlusEven零偶m=n

be

evenPlusEven零偶m=m

？为

eventimesven

编写

*

，

evenPlusEven

编写

+

，为

nexteventimesven编写
，你已经写了
（2+n）*m=n*m+n
；它应该是
（2+n）*m=n*m+m+m
或类似的格式。我无法编译
evenPlusEven（evenTimesEven n m）（evenPlusEven m）
。这就是你想要的解决方案吗@4castle关联性很重要。这将使
（n*m）+（m+m）
但是我想你需要
（（n*m）+m）+m）
。我心中没有解决方案，但如果在这样的练习中出现一些交换性或关联性问题，我不会感到惊讶。我发现一个打字错误，
Add（Mult n m）n
应该是
Add（Mult n m）m
，然后我应用了您的修复，现在它开始工作了！