Haskell 自由幺半群和幺半群的主要区别是什么？

看起来我对Haskell中的

幺半群

有了相当清晰的理解，但上次我听说了一个叫做自由幺半群的东西

什么是自由幺半群，它与幺半群有什么关系

---

你能在Haskell中提供一个例子吗？

自由幺半群是一种特定类型的幺半群。具体地说，它是通过将一些固定的元素集作为字符，然后从这些元素中形成所有可能的字符串而得到的幺半群。这些字符串（底层操作是字符串连接）形成一个幺半群，该幺半群称为自由幺半群。

在编程上下文中，我通常将自由幺半群转换为

[a]

。Bartosz Milewski在关于的优秀系列文章中，在Haskell中将列表幺半群描述为列表幺半群（假设忽略了无限列表的一些问题）

标识元素为空列表，二进制操作为列表串联：

Prelude Data.Monoid> mempty :: [Int]
[]
Prelude Data.Monoid> [1..3] <> [7..10]
[1,2,3,7,8,9,10]

如果您以后决定将它们添加到一起，则有可能：

Prelude Data.Monoid> getSum $ mconcat $ Sum <$> [3,7]
10

Prelude Data.Monoid>getSum$mconcat$Sum[3,7]
10

如果您希望将它们相乘，也可以这样做：

Prelude Data.Monoid> getProduct $ mconcat $ Product <$> [3,7]
21

Prelude Data.Monoid>getProduct$mconcat$Product[3,7]
21

在这两个示例中，我特意选择将每个数字提升为包含更具体幺半群的类型（

Sum

，

Product

），然后使用

mconcat

执行聚合

对于加法和乘法，有更简洁的方法，但我这样做是为了说明如何使用更具体的幺半群来解释自由幺半群。

幺半群

（M，•，1）

是一种数学结构，如下所示：

M

是一个集合

1

是

M

•：M*M->M

a•1=a=1•a

给定

M

中的

a

、

b

和

c

元素，我们有

a•（b•c）=（a•b）•c

集

M

上的自由幺半群是一个幺半群

（M'，•，0）

和函数

e:M->M'

，对于任何幺半群

（N，*，1）

，给定一个（集）映射

f:M->N

，我们可以将其推广到一个幺半群同态

f'：（M'，•，0）->（N，*，1）

，即

f a = f' (e a)
f' 0 = 1
f' (a•b) = (f' a) • (f' b)

换句话说，它是一个没有特殊作用的幺半群

例如，幺半群是运算为加法且恒等式为0的整数。另一个幺半群是整数序列，其操作为串联，标识为空序列。现在加法下的整数不是整数上的自由幺半群。将该映射视为整数序列，采用<代码> n>代码> >代码>（n）< /代码>。然后，为了使这是免费的，我们需要将它扩展到一个将

n+m

映射到

（n，m）

，也就是说，它必须将

0

映射到

（0）

和

（0,0）

以及

（0,0）

等等

另一方面，如果我们试着把整数序列看作是整数上的自由幺半群，我们会发现它在这种情况下似乎是有效的。将映射扩展为带加法的整数是一个取序列之和的扩展（其中（）之和为0）

那么集

S

上的自由幺半群是什么呢？我们可以尝试的一件事就是任意的

S

二叉树。在Haskell类型中，这看起来像：

data T a = Unit | Single a | Conc (T a) (T a)

它的标识为

单位

，

e=Single

和

（•）=Conc

我们可以编写一个函数来显示它是如何免费的：

-- here the second argument represents a monoid structure on b
free :: (a -> b) -> (b -> b -> b, b) -> T a -> b
free f ((*),zero) = f' where
  f' (Single a) = f a
  f' Unit = zero
  f' (Conc a b) = f' a * f' b

很明显，这满足了

a

上自由幺半群所需的定律。除了一个：

ta

不是幺半群，因为它不完全满足第4或第5定律

所以现在我们应该问，我们是否可以把它变成一个更简单的自由幺半群，也就是一个实际的幺半群。答案是肯定的。一种方法是观察

Conc Unit a

和

Conc Unit

和

单个a

应相同。因此，让我们将前两种类型设置为不可表示：

data TInner a = Single a | Conc (TInner a) (TInner a)
data T a = Unit | Inner (TInner a)

我们可以做的第二个观察是，

Conc（Conc A b）c

和

Conc A（Conc b c）

之间应该没有区别。这是由于上述第5条。然后我们可以把树压平：

data TInner a = Single a | Conc (a,TInner a)
data T a = Unit | Inner (TInner a)

Conc

的奇怪结构迫使我们只能用一种方式来表示

单个a

和

单元

。但是我们看到我们可以将这些合并在一起：将

Conc

的定义更改为

Conc[a]

，然后我们可以将

Single x

更改为

Conc[x]

，将

Unit

更改为

Conc[]

，因此我们有：

data T a = Conc [a]

或者我们可以写：

type T a = [a]

行动包括：

unit = []
e a = [a]
(•) = append

free f ((*),zero) = f' where
  f' [] = zero
  f' (x:xs) = f x * f' xs

---

因此在Haskell中，列表类型被称为自由幺半群。

正如您已经知道的，幺半群是一个集合，包含一个元素

e

和一个操作

e <> x = x <> e = x  (identity)
(x<>y)<>z = x<>(y<>z)  (associativity)

这不是前两个方程的结果

注意，在数学中可以证明，所有自由幺半群同构于列表幺半群

[a]

。因此，编程中的“自由幺半群”对于任何数据结构来说只是一个花哨的术语，1）可以转换为列表，然后返回，不会丢失信息；2）反之亦然，列表可以转换为列表，然后返回，不会丢失信息

---

在Haskell中，你可以用“类似列表的类型”替换“自由幺半群”。

这是一个数学问题吗？也许它更适合@Coderino-Javarino，我更喜欢从编程的角度给出答案。我想我没有足够的能力去理解数学人的反应。如果我找不到回应，我一定会去那里试试。谢谢编程的观点是，这不是一个编程问题：-）（范畴理论是为理论计算机科学家而提出的。）事实上，幺半群起源于m

e <> x = x <> e = x  (identity)
(x<>y)<>z = x<>(y<>z)  (associativity)

x<>y = y<>x