Haskell 对“；固定和#x201D；关于非函数类型？

每次我使用

fix:：（a->a）->a

，它都是在

((a -> b) -> a -> b) -> a -> b

---

对于某些

a

和

b

。除了像

fix（const 0）

这样的琐碎事情之外，

fix

的某些应用程序的类型参数没有被实例化为函数类型吗？保留签名最一般的目的是什么？

我不知道您是否会认为这个示例很琐碎，但您可以直接使用

fix

来建立数据：

repeat :: a -> [a]
repeat x = fix (x:)

---

例如，斐波那契序列：

fibs = fix ((1:) . (1:) . (zipWith (+) <*> tail))

或斐波那契序列的另一种变体：

fibs :: State (Int, Int) [Int]
fibs = fix $ \loop -> do
    (x, y) <- get
    put (y, y + x)
    (x :) <$> loop

main = print $ take 15 $ fst $ runState fibs (1, 1)

fibs:：State（Int，Int）[Int]
fibs=fix$\loop->do
（x，y）有许多使用
fix
构建corecursive数据的示例。我不知道如何详细阐述一般理论，但似乎任何类似于流的数据类型都可以通过
fix
计算，因为到目前为止，只要给定流，就可以输出一个以上的值，而无需向其提供函数类型

例子
例如，最简单的例子（在Cactus的答案中给出）是一个重复的值流

x = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]

这满足方程

(1:) x = x

0 : map (+1) n = n

并且可以由

>> fix (1:)
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]

>> fix ((0:) . map (+1))
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...]


一个稍微复杂一点的例子是自然数

n = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...]

满足这个方程

(1:) x = x

0 : map (+1) n = n

并且可以由

>> fix (1:)
[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]

>> fix ((0:) . map (+1))
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...]


如果我们查看成对的
（n，f）
，其中
f
是
n
第个阶乘数，则最容易生成阶乘数-

x = [(0,1), (1,1), (2,2), (3,6), (4,24), (5,120), ...]

如果我们将成对的
（n，f）
取为
（n+1，f*（n+1））
，然后将cons
（0,1）
取为列表的开头，则它们是固定的。因此，它们可以由

>> fix $ \xs -> (0,1) : map (\(n,f) -> (n+1,f*(n+1))) xs
[(0,1),(1,1),(2,2),(3,6),(4,24),(5,120),(6,720),(7,5040),...]

斐波那契数可以类似地生成，如user3237465的答案

概括例子
这里的所有三个示例本质上都是转换为corecursive流的递归函数，即它们具有一些初始状态
s
，流发出的值对于某些函数
f
，
fs
，
f（fs）
等。执行此操作的一般方法是函数
iterate

iterate :: (a -> a) -> a -> [a]
iterate f x = x : iterate f (f x)

可根据
fix
-

iterate f x = x : map f (iterate f x)
            = (x:) . (map f) $ iterate f x
            = fix ((x:) . map f)

因此，任何重复将函数应用于某个状态的流都可以用
fix
来编写（当然，您可以简单地使用
iterate
而不是
fix
——这是规则的一种特殊情况，
fix
在允许递归let表达式的语言中是不必要的）

非流示例
对于一个不是流的例子，考虑二叉树在分支中的值-< /p>
data Tree a = Tip | Bin a (Tree a) (Tree a) deriving (Show)

如果我们想要一个二叉树，其节点是按广度优先顺序标记的，请注意，我们可以通过获取自身的两个副本，并将左分支和右分支中的所有值增加适当的量来修复这样的树，如以下函数所定义-

fun :: (Num a) => Tree a -> Tree a
fun t = Bin 1 (incr 1 t) (incr 2 t)
  where
    incr n (Bin a l r) = Bin (a+n) (incr m l) (incr m r)
      where
        m = 2 * n

使用一个简单的函数
takeLevels
只显示树的初始部分，然后计算固定点

>> takeLevels 3 $ fix fun
Bin 1 (Bin 2 (Bin 4 Tip Tip) (Bin 5 Tip Tip)) (Bin 3 (Bin 6 Tip Tip) (Bin 7 Tip Tip))

这正是我们想要的。
“保留最一般的签名的目的是什么？”这样做不会造成任何损失。我真的很喜欢这些示例，尽管我觉得第二个示例有点作弊，因为
State
本质上是
s->（a，s）
的同义词，因此提供给fix的输入具有类型
（（b->c）->b->c）
其中
b=（Int，Int）
和
c=（（Int，Int），[Int]）
@Chris Taylor，这很公平。然而，其中一个问题是“留下签名最一般的目的是什么？”，这个例子就是说明。@ChrisTaylor:对。同样，任何类型都可以被理解为“本质上是”这样一个函数类型的同义词，即它的非类型lambda演算表示。阶乘数只是
fix（（1:）.zipWith（*）[1..）
。