Haskell 为什么代数类型只是初始代数（反之亦然）？

在递归方案包中，我们可以表示一个（严格正）代数数据类型

有一个签名函子，

f

是初始的

f

-代数，和

是最后的

f

-coalgebra

例如，我们可以使用以下代码为

[a]

执行此操作

-- (1) define and declare the signature functor, here called Base

data instance Prim [a] x = Nil | Cons a x deriving Functor
type instance Base [a] = Prim [a]

-- (2) demonstrate the initial algebra
instance Foldable [a] where
  project []     = Nil
  project (a:as) = Cons a as

-- (3) demonstrate the final coalgebra
instance Unfoldable [a] where
  embed Nil         = []
  embed (Cons a as) = a:as

值得注意的是，对于我们有（1）、（2）和（3）的任何类型，我们都应该有

（project，embed）

见证同构

我的理解是，一般的数据类型（或者至少是严格正的）总是某些签名函子的最终/初始co/代数事实上，它们总是两者兼而有之

所以我的问题是：

Foldable

和

Unfoldable

为什么作为单独的类？什么时候数据类型是一种还是另一种

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目前，我可以想象这对于只想提供折叠或展开接口的抽象数据类型可能很有价值，但还有其他时间吗？

这可能不是你问题的答案，但严格正的Haskell数据类型不是真的是初始代数。这样做的原因是，即使在Haskell的整个子集中（这是我们在推理时想要处理的！），也有无限的数据

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例如，无限列表的折叠是部分的。

对于任何类型，我们都必须定义倒数代数和余代数吗？有没有可能，对于某些类型，人们希望定义一个代数来构造值，并定义一个余代数来处理它们（而不仅仅是“双重地”解构它们）？你可以肯定，这意味着你的展开将展开为可能值的子集和折叠“视图”可能数据的子集这几乎肯定会发生在抽象数据类型中（否则为什么要抽象它呢？）。我对

可折叠的

/

可展开的

的预期含义的理解是

基

函子应该恰好是该类型的签名函子，因此它们是相互的。在我看来，

可折叠的

和

可展开的

分别用于将数据类型显示为代数和余代数，不一定是最初的或最终的。（这可能也是@didierc所说的。）@TomEllis你当然可以这样做，但如果你想让实例的全局唯一性变得怪异（除非你的类型是抽象的，或者伪装成纯粹的归纳或共导的？）。对于任何非抽象类型，都有一个最佳/规范代数和一个最佳/规范余代数，它们共享函子，并且是反比。我不想让这种紧张一直存在于我的脑海中，但你是对的。不过，我不知道该如何表达它（我很乐意编辑这个问题，并提供一些建议）。我想提出这样一个观点，在Haskell中，最小不动点和最大不动点重合，或者至少它不会限制你将生成器传递给褶皱。这打破了普遍性，但我不知道该怎么说。