Haskell 既是类别又是单子的类型构造函数的名称？

类型构造函数

F:：*->*->*->*->*->*

有没有标准名称

return :: x -> F a a x
bind :: F a b x -> (x -> F b c y) -> F a c y

第一个参数是逆变函子，第二个和第三个参数是协变函子？特别是，这是否符合范畴理论中的任何类型的结构

这些行动引起了一场战争

join :: F a b (F b c x) -> F a c x

使它看起来像某种“内函子范畴中的范畴”的操作，但我不确定如何将其形式化

编辑：正如chi指出的，这与索引单子相关：给定一个索引单子

F' : (* -> *) -> (* -> *)

我们可以使用Atkey结构

data (:=) :: * -> * -> * -> *
    V :: x -> (x := a) a

然后定义

F a b x = F' (x := b) a

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得到我们想要的单子。不过，我还是想知道这个更为有限的结构是否为人所知。

正如评论中所指出的，这是罗伯特·阿特基在他的论文中提出的参数化单子的概念。这对应于范畴理论中丰富了内函子范畴的范畴概念

对于一个类别

C

是指对于

C

的每个对象

X

，

Y

，Hom对象

Hom（X，Y）

是

V

的对象，并且存在给予身份和组成的态射，

I->Hom（X，X）

和

Hom（Y，Z）xHOM（X，Y）->Hom（X，Y）

。某些idenity和associativity条件必须保持，对应于类别的恒等式和associativity的通常要求

C

上的monad

M

可以看作是一个单对象范畴，它丰富了

C

上的内函子。由于只有一个对象

X

，因此还有一个Hom对象

Hom（X，X）

，即

M

。返回操作产生一个恒等态射，一个自然变换

I->M

，连接操作产生一个复合态射，一个自然变换

mxm->M

。然后，恒等式和结合性条件与单子的条件完全对应

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在

C

上，参数取自某个集合

S

的参数化单子

M

可以被视为一个类别，其

S

元素作为对象，丰富了

C

的内函子。Hom对象

Hom（X，Y）

是

mxy

，问题中描述的

返回

和

连接

操作再次产生所需的态射族

它看起来类似于一个索引单子，但不完全相同（？）哦，是的，很好的一点，这里有一个联系。我仍然称它为（，不是）索引单子的特例，它只是在索引中有一些额外的性质。例如，索引状态monad符合这种模式。（罗伯特·阿特基（Robert Atkey）在我链接的论文中介绍了这些，因此麦克布莱德对“at key”类型的双关语命名为

：=

）@BenjaminHodgson谢谢，这正是我想要的！如果你把它作为答案贴出来，我会接受的。（罗伯特·阿特基甚至预见到了一个问题，我想我会遇到他的张量积要求。）