Image processing 高斯模糊中二维掩模到一维的转换

我正在尝试实现高斯模糊。我已经使用上提供的2d函数计算了遮罩。我现在有一个2d矩阵。我知道为了提高运行时间，可以避免使用标准卷积方法，因为高斯函数是可分离的。换句话说，正如上面所说，“在高斯模糊的情况下，它分解为两个一维操作”

已经很有帮助了，但是，我不知道如何从现有的2d蒙版中获得1d蒙版。例如，将图3中的2d遮罩转换为图4中的1d遮罩。如何进行这种转换

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首先计算1d遮罩，然后将其应用于x方向，然后应用于y方向，是否足够

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我发现，是的，一个人可以简单地生成一个一维掩模，并在x和y方向上使用它。然而，问题是当我应用高斯滤波器时，结果图像的质量

我假设在计算掩模的点积和原始图像的选定部分时，需要进行一些操作。是什么导致生成的图像是这样的

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除了@Jeremie Miserez的回答之外，这非常有帮助。如果你想知道这是如何实现的，它也有代码。

关于可分离卷积的内容应该会有点清楚

我最近不得不这么做，所以这里是这样的：作为一个例子，我们使用一个基于二维高斯分布的内核，标准偏差为0.85。我们需要一个3x3内核（Matlab代码）

请注意，所有条目的总和为1，即如果将其用作过滤器，图像的亮度不会改变：

>> sum(sum(h))

ans =
     1

还请注意，值为1，因此内核实际上是可分离的（两个向量

h1

和

h2

，当相乘时将导致

h

：

h1*h2=h

）

太好了，我们可以继续了。请注意，如果秩大于1，仍然可以得到近似值，但可能需要使用不同的技术（请参见末尾的链接）

在不深入细节的情况下，我们使用

svd

函数。这是一个标准函数，计算

U*S*V'=h

，在许多数学库中都可用

>> [U,S,V] = svd(h)

U =
   -0.4085    0.9116   -0.0445
   -0.8162   -0.3867   -0.4292
   -0.4085   -0.1390    0.9021

S =
    0.3749         0         0
         0    0.0000         0
         0         0    0.0000

V =
   -0.4085   -0.3497   -0.8431
   -0.8162    0.5534    0.1660
   -0.4085   -0.7559    0.5115

我们现在知道

U*S*V'=h

（

V'

是

V

的转置）。现在，对于秩1矩阵，

S

应该只有1个奇异值，其余的应该是0（有关更多信息，请参阅本答案末尾的讨论）

所以我们现在需要的是

（h1）*（h2）=h

。我们可以将

S

分成两个不同的值，这样

s1*s2=S

。因此我们得到：

U*s1*s2*V'=h

，然后

（U*s1）*（s2*V'）=h

您可以选择如何拆分

S

，但使用平方根将

S

在

h1

和

h2

之间等分：

>> h1 = U*sqrt(S)

h1 =
   -0.2501    0.0000   -0.0000
   -0.4997   -0.0000   -0.0000
   -0.2501   -0.0000    0.0000

>> h2 = sqrt(S)*V'

h2 =
   -0.2501   -0.4997   -0.2501
   -0.0000    0.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000    0.0000

请注意，我们不需要额外的带零的行/列，因此我们可以这样做：

>> h1 = U(:,1)*sqrt(S(1,1))

h1 =
   -0.2501
   -0.4997
   -0.2501

>> h2 = sqrt(S(1,1))*V(:,1)'

h2 =
   -0.2501   -0.4997   -0.2501

请注意，减号相互抵消，因此如果愿意，也可以从

h1

和

h2

中删除减号：

h1 =
    0.2501
    0.4997
    0.2501
h2 =
    0.2501    0.4997    0.2501

>> h1*h2

ans =
    0.0626    0.1250    0.0626
    0.1250    0.2497    0.1250
    0.0626    0.1250    0.0626

这与我们之前的情况（几乎）相同：

>> h1*h2 - h

ans =
   1.0e-16 *
         0    0.2776   -0.1388
         0    0.5551   -0.2776
         0    0.2776   -0.1388

请注意，机器精度

eps

仅为：

>> eps
ans =
   2.2204e-16

---

所以误差很小，在这种情况下是由于不精确。如果您有任何比这更大的错误，您很可能只是忽略剩余的奇异值，然后计算

h

的秩1近似值。在这种情况下，您可能需要研究其他选项以获得更好的近似值，例如or。

我的答案解释了如何获得数字。然而，从您的图片来看，它更像是一个实现问题。尝试在Matlab中或首先（

imfilter

或

conv2

）测试滤波器，以确保数字不是问题（倍频程是免费的）。还要确保2d内核的总和为1，否则它将无法工作

>> h1*h2 - h

ans =
   1.0e-16 *
         0    0.2776   -0.1388
         0    0.5551   -0.2776
         0    0.2776   -0.1388

>> eps
ans =
   2.2204e-16