Java 单变量二元简单方程解集的计算算法

假设我有一个简单的公式：

7x + 4y = n

其中n由我们选择，x、y和n都是正整数。这是给我们的唯一方程式。在可能的解中，我们需要解（x，y），其中x是最小的。e、 g

7x + 4y = 14, then (2, 0) is the solution
7x + 4y = 15, then (1, 2) is the solution
7x + 4y = 32, then (4, 1) and (0, 8) are the possible solutions,
of which (0, 8) is the correct solution

我想设计一个算法，以计算它在尽可能少的运行时间。我想到的当前算法是这样的：

Given an input n
Calculate max(x) = n/7
for i = 0 to max(x)
    If the equation 7*i + 4*y = n holds
        return value of i and y
    else
        continue

我猜想，在最坏的情况下，这个算法的运行时间可达O（n）。有更好的算法来计算解吗？

我们有

7(x-4)+4(y+7)=7x+4y

如果（x，y）是一个解，那么（x-4，y+7）也是一个解。因此，如果存在溶液，则存在一个xO（n）的溶液：

---

我建议你看看书中的单纯形法。您可以轻松地将C代码视为伪代码，并生成java版本。您想要的单纯形的版本是“受限单纯形”，它只处理正值。这本书很有趣。从第10.8节开始，向前读。

让我们考虑更一般的问题

• 对于两个互质正整数

  a

  和

  b

  ，给定一个正整数

  n

  ，找到非负整数对

  （x，y）

  ，使

  a*x+b*y=n

  最小

  x

  。（如果有，则不必有，例如

  7*x+4*y=5

  没有非负

  x

  和

  y

  的解决方案）

暂时不考虑非负性，给出任何解

a*x0 + b*y0 = n

对于某些整数

k

，所有解的形式都是

（x0-k*b，y0+k*a）

。因此，

x

模

b

和

y

模

a

的剩余部分是解的不变量，我们有

a*x ≡ n (mod b), and b*y ≡ n (mod a)

所以我们需要解方程

a*x≡ n（mod b）

-另一个在后面

设

0

为带

a*c的整数≡ 1（模块b）

。例如，您可以通过扩展的欧几里德算法，或者（等效地）以O（logb）步数对

a/b

进行连分数展开来找到它。这两种算法自然会产生具有该属性的唯一

c

那么

x

的最小候选值是

n*c

模

b

的余数

x0

---

这个问题有一个非负的

x

和

y

的解，当且仅当

x0*a你说
如果方程7*i+4*y=n保持
i你从循环中得到，那么y是什么？x和y上有上界吗？如果是这样的话，二进制搜索是你成功的途径。你可能想了解一下。您的问题确实是广义问题的一个具体实例，但我很好奇您所面临的简化问题是否有一个有效的解决方案。这要求解决以下问题：-（@Betlista我应该你想进一步评论，我认为这个方程可以改变。这里有一个例子。如果方程的形式是ax+by=n，那么如果有一个解，那么就有一个xa*x ≡ n (mod b), and b*y ≡ n (mod a)